Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.

Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.

Неопределенными понятиями в теор. вероятностей является испытание(опыт, наблюдение, эксперимент) и элементарное событие(элементарный исход). Под испытанием понимается реализация определен. комплекса условий, в рез-те которых наступает ровно 1 элементарн. событие из общей совокупности, называемой простр-вом элементарных событий. Ω = {w₁,w₂,w₃,…} – простр-во элементарн. событий; w_i – элементарное событие. В зависимости от числа элементарн. событий в простр-ве различают конечное, счетное, несчетное простр-во элементарн. событий. Конечное простр-во содержит конечное число элементарн. событий. Счетное – бесконечное число, но такое, кот. можно пересчитать. Несчетное простр-во содержит бесконечное число элементарн. событий не поддающихся нумерации.

 

Определение событий. Виды событий. Действия над событиями.

Событием (или случайным событием) называется любое подмнож-во простр-ва элементарн. событий, если оно конечно или счетно. Определ.: события называются эквивалентными, если они состоят из одних и тех же элементарн. событий. Эквивалентные события наступают или не наступают одновременно. Опред.: Событие назыв. невозможным, если оно не содержит ни одного элементарн. события. Невозможное событие никогда не происходит. Опред.: Событие назыв. достоверным, если оно содержит все элементарн. события простр-ва Ω. Достоверное событие происходит при каждом испытании. Введем операции над событиями: Суммой событий А и В назовем событие А+В, состоящее из элементарн. событий принадлежащих или событию А, или соб. В. А+В = {w: w A или w B}. Произведением событий А и В назовем событие АВ, состоящее из элементарн. событий, принадлежащих и событию А, и соб. В. АВ = {w: w A и w B}. Разность событий А и В – это событие, состоящее из элементарн. событий, входящих в событие А и не входящих в соб. В. А – В = {w: w A и w B}. Определ.: События назыв. противоположными, если кажд. из них содержит те элементарн. события, кот. не содержит другое событие. Если А – некоторое событие, то противоположн. ему событие Ā, причем оно единственное. Если событие произошло, то противоположное ему событие не произошло, и наоборот. Ā = {w Ω, w A}, AĀ=Ø. Определ.: События А и В назыв. несовместными, если они не содержат общих элементарн. событий, т.е. одновременно наступить не могут. Произведение несовместн. событий есть невозможное событие, т.е. АВ = Ø. Любые 2 противоположных события несовместны. Опред.: События А₁, А₂, …, А_к назыв. попарно несовместными, если никакие 2 из них несовместны. Опред.: Событие А влечет за собой соб. В, если каждое элементарн. событие из А входит в соб. В, т.е. наступление события А влечет наступление соб. В. АВ = А; А+В = В. Опред.: События А₁, А₂, …, А_к образуют полную группу событий, если: 1) они попарно несовместны; 2) не невозможны; 3) в сумме дают все простр-во элементарн. событий. События полной группы назыв. гипотезами. Неск-ко событий образуют полную группу, если в рез-те испытания появится хотя бы одно из них. Опред.: События назыв. равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

 

 

Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарн. исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов кот. бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наряду с классич. определением используют статистич. определение. В кач-ве статистич. вероятности события принимают относительн. частоту или число близкое к ней. Св-ва вероятности, вытекающие из классич. определения сохраняются и при статистич. определ. Если событие достоверно, то его относит. частота =1, т.е. статистич. вероятность также =1. Если событие невозможно, то относит. частота = 0, т.е. статист. вероятность тоже =0. Для любого события 0£W(A)£ 1, следоват. статистич. вероятность заключена между 0 и 1. Для существования статист. вероятности требуется: 1) возможность хотя бы принципиально проводить неограничен. число испытаний, в каждом из кот. событие наступает или не наступает; 2) устойчивость относит. частоты появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистич. определения является неоднозначность статистич. вероятности. Напр., если в рез-те достаточно большого числа испытаний оказалось, что относит. частота весьма близка к 0,6, то это число можно принять за статистич. вероятность. Но в кач-ве вероятности события можно принять не только 0,6, но и 0,59 и 0,61.

 

 

Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классич. определения вероятности, состоящий в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрич. вероятности, т.е. вероятности попадания точки в область, на отрезок, часть плоскости и т.д. Пусть отрезок длины l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: Поставлен. точка может оказаться в любой точке отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. P=длина l/длина L.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующ. предположений: Брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G. Вероятность попадания брошен. точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы фигуры g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: P= площадь g/площадь G.

 

Понятие об алгебре событий

Построим матем. модель, в кот. учитывались бы все возможные исходы эксперимента. Пусть Ω – производное пространство элементарн. событий, а F – некоторый класс подмнож-в множества Ω. Класс подмнож-в F называется алгеброй событий, если выполняются следующ. условия: 1)ΩÎF; 2)AÇBÎF, AÈBÎF, A-BÎF; "A,BÎF; 3)AÎF, тогда ĀÎF.

Если задано множ-во W и какая-нибудь s-алгебра F, то говорят, что задано измеримое пространство(обозначается <W,F>). Для того, чтобы формализовать какую-нибудь вероятностн. задачу, надо соответствующ. эксперименту приписать измеримое пространство <W,F>, где W обозначает множ-во элементарн. исходов эксперимента, а s-алгебра F определяет класс событий, среди кот. находятся и интересующие.

 

Аксиомы Колмогорова

Числовая функция Р, определенная на классе событий F называется вероятностью, если выполняются следующ. условия: Аксиома 1. F является алгеброй событий; Аксиома 2. Р(А)³0 для любого АÎF; Аксиома 3. Р(W)=1; Аксиома 4. Если А,В – несовместные события, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Для решения задач, связанных с бесконечн. последовательностями событий, требуется дополнить приведен. аксиомы следующ. аксиомой непрерывности: Аксиома 5. Для любой убывающей последоват-и событий из F такой, что произведение этих событий есть невозможн. событие, справедливо равенство: lim(при x→∞) P(A_n)=0, т.е. А₁ А₂ … А_n …A_i F, ;

Эти аксиомы называются аксиомами Колмогорова.

 

 

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некотор. события А, кот. может произойти вместе с одним из событий H₁,H₂,…,H_n, образующ. полную группу несовместн. событий. События H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответств. условн. вер. события А. Доказ-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вероятностей, получаем P(A)= + +…+ .

 

 

Формула Байеса

Следствиеь теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместн. гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некотор. событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти условн. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей: P(AH_i)=P(A) P_A(H_i)=P(H_i) , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полн. вероятности, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула назыв. формулой Байеса или теоремой гипотез.

 

 

Формула Бернулли

При решении вероятностн. задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некотор. соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n испытаний, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вероятность события в кажд. отдельн. испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n испытаниях. Подобн. задачи решаются довольно легко, если испытания явл. независимыми. Опред.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независим. опыты. Производится n независим. опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некотор. соб.А. Вер. появл. данного события в кажд. опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведен. событий, состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А или n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m … . Каждое произведен. соб. А должно происходить m раз, а n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умножен. для независ. событий равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой

 

 

Формула Пуассона

Если вер. события p в отдельн. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольш. величине вероятности , получен. по локальн. формуле Лапл. не достаточно близки к их истин. значениям. В таких случаях применяют формулу Пуасона. Теор.: Если вер. p наступления соб. А в кажд. испытании постоянна, но близка к 0, число независим. испытаний n достаточн. велико, а , то вер. того, что в n независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуасона. Доказ-во: Для вычисления вер. воспользуемся формул. Бернулли: (Т.к. , то )= . Т.к. по условию n велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вероятн.: = = = = Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при . Следоват-но вер. того, что в n испытаниях событие появится m раз . Замечание: Формулу Пуассона обычно используют, когда , а .

 

Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотрицат. значения с вероятностями P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с параметром распределения λ, где λ=np. В отличие от биномиальн. распределения здесь СВ может принимать бесконечное мн-во значений, представляющ. собой бесконечн. последовательность целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящ. за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, кот. характеризуется параметром λ=np. Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

X				…	m	…
p	e^—λ	λ e^—λ	(λ^2 e^—λ)/2!	…	(λ^m e^—λ)/m!	…

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем мат. ожидание и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = = λ e^—λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения λ.

37. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной СВ Х, которое описывается функцией плотности вероятности , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распределения. Примером непрерывн. СВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем функцию распределения F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,

Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Матем. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ² – 1/λ² = 1/λ². Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.

 

 

Неравенство Чебышева.

Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».

Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием m_x и D_x. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной D_x/ α²: P(|X - m_x |≥α)≤ D_x/ α². Доказ-во: Пусть величина Х прерывная, с рядом распределения:

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Изобразим возможные значения величины Х и ее мат. ожидание m_x в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше, чем на α: P(|X - m_x |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки m_x вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вероятность (1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - m_x |≥α) = P(X AB). Для того, чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений Х, которые лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - m_x |≥α) = - формула (2), где запись |X - m_x |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те значения, для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии величины Х: D(X) = M[(X - m_x)²] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения Х, а только на некоторые, в частности на те, котрые лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - m_x | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - m_x |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшится; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α²P(|X - m_x |≥α), откуда непостредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда величина Х непрерывна, доказ-во проводится аналогичным образом с заменой вероятностей p элементом вероятности, а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - m_x |>α) = , где f(x) – плотность распределения величины Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - m_x |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - m_x | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥ α² = α²P(|X - m_x |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.

 

Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.

Неопределенными понятиями в теор. вероятностей является испытание(опыт, наблюдение, эксперимент) и элементарное событие(элементарный исход). Под испытанием понимается реализация определен. комплекса условий, в рез-те которых наступает ровно 1 элементарн. событие из общей совокупности, называемой простр-вом элементарных событий. Ω = {w₁,w₂,w₃,…} – простр-во элементарн. событий; w_i – элементарное событие. В зависимости от числа элементарн. событий в простр-ве различают конечное, счетное, несчетное простр-во элементарн. событий. Конечное простр-во содержит конечное число элементарн. событий. Счетное – бесконечное число, но такое, кот. можно пересчитать. Несчетное простр-во содержит бесконечное число элементарн. событий не поддающихся нумерации.