Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.

Опред.: Статистической гипотезой, обозначаемой H, называется любое предположение относительно вида или параметров распределения СВ Х, которое может быть проверено по результатам выборки. Любое предположение, однозначно определяющее распределение выборки, называется простой гипотезой. Как следует из определения, могут приниматься различные статистические гипотезы. Пусть дано m+1 распределение P₀, P₁, …, P_m и известно, что выборка x₁, x₂, …, x_n принадлежит одному из этих распределений. Необходимо определить, к какому именно распределению P_i, i = , принадлежит выборка. Каждая из гипотез H_i (H_i - выборка принадлежит P_i, i = ) будет простой.

Гипотезы могут формулироваться и о значениях параметров распределения известного вида. Параметрическая гипотеза называется простой, если содержит только одно предположение относительно параметра. Параметрическая гипотеза называется сложной, если состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. При этом одно из таких предположений выбирается в кач-ве основного (исходного) и называется нулевой гипотезой H₀. Другие предположения или возможности называют конкурирующими гипотезами H₁, H₂, … После формулировки статистических гипотез ставится задача их проверки по рез-там случайной выборки. Для проверки статистической гипотезы с помощью статистического критерия устанавливается, соответствуют ли взятые из выборки данные выдвинутой гипотезе или нет, т.е. нужно ли принять или отвергнуть гипотезу.

 

Критерии проверки статистических гипотез.

Статистическим критерием для проверки гипотез H₀, H₁, …, H_m называют случайную величину δ(Х), принимающую значения H_i, i = , т.е. это отображение выборочного простр-ва на мн-во рассматриваемых гипотез. Если δ(Х) = H_к, то принимают гипотезу H_к (т.е. считают, что а = _к при проверке парамерической гипотезы). Задание статистического критерия эквивалентно разбиению выборочного простр-ва на m+1 непересекающихся мн-в Ω₁, Ω₂, …, Ω_m, на котрых принимаются соответствующие гипотезы. Т.к. статистич. критерий формулируется по рез-там конечной случайной выборки и выборка может быть неудачной, то при проверке статистич. гипотезы всегда сущетвует риск принять ложное решение. Рассмотрим гипотезу H₀ и конкурирующую гипотезу H₁ и допустим, что во всех случаях, когда H₀ – истинна, действие А предпочтительнее действия В, в противном случае предпочтительнее действие В.

 

 

Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.

Проверяя гипотезы с помощью статистического критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) гипотеза H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие А; 2) гипотеза H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие А; 3)) гипотеза H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие В; 4) гипотеза H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии гипотезы H₀, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H₀, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа α_i = α_i(δ) = P_i(δ(X)≠ H_i), характеризующие вероятность отвержения гипотезы H_i, когда она верна, называют вероятностями ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вероятностей α_i(δ) ошибочных решений характеризуется кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда гипотеза H₀ принимается, ибо она верна, и когда гипотеза H₀ отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода.

Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной гипотезы. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α₁(δ) была возможно большей: P (X ] x₁; x₂[|H₁) = max. Мощностью критерия δ называется вероятность 1 – α₁(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность принятия неверной гипотезы.