Плотность распределения вероятностей непрерывн. СВ и ее св-ва.

Функц. распредел. вероятностей непрерывной СВ дает полную вероятностн. хар-ку ее поведения. Однако задание непрерывн. СВ с пом. функц. распредел. не является единственным. Ее можно задать с пом. др. функции, кот. назыв. дифференциальн. функц. распределения или плотностью распредел. вероятностей. Пусть X – несрерывн. СВ с интервальн. функц. распредел. F(x). F(x) непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим вер. попадания значения СВ в интервал (x; x+ x). P(x<X<x+ x) = F(x+ x) – F(x), т.е. вер. равна приращению функц. на этом участке. Определим вер., кот. приходится на единицу длины рассматриваемого участка. Для этого разделим обе части последн. рав-ва на x: = = = = . = f(x). Опред.: Дифференц. функц. распредел. или плотностью распредел. вер. называется 1-ая производная от интегральн. функции распредел. Замеч.: Для хар-ки распредел. вер. дискретн. СВ дифференц. функция распредел. непременима. Основн. св-ва дифференц. функции распредел.: 1) Для f(x) неотрицательна, т.е. f(x) 0. Доказ-во: Следует из определения функции плотности F(x) – неубывающ. функция, значит ее производн. неотрицательна, т.е. = f(x) 0; 2) Для дифференциальн. функц. распредел. имеет место равенство P( <X< ) = . Доказ-во: Т.к. функц. F(x) явл. первообразной для функц. f(x), то из формулы () = F()-F() и формулы Ньютона-Лейбница вытекает вер. того, что P( <X< ) = F()-F() = ; 3)Для дифференц. функц. распредел. имеет место рав-во: =1. Доказ-во: Согласно определ. несобствен. интеграла по бесконечн. пределам и 3-му св-ву функц. распредел. имеем = + = + = + = + =0+1=1; 4) Для интегральн. и дифференц. функц. распредел. имеет место рав-во: F(x) = . Доказ-во: = = = F(x) - = F(x)-0=F(x). Замеч.: Если СВ Х принимает значение только в некотор. интервале (), то =1.

 

 

26. Вер. попадания СВ в задан. интервал.

Вер. попадания СВ Х в задан. интервал равна приращению ее функции распредел. на этом интервале, т.е. вер. того, что ()= F() - F(). Эта формула следует из формулы F()=F()+ P() – вопрос №24, если вместо точек взять точки и . Вер. любого отдельного значения непрерывн. СВ равна 0. Доказ-во: Воспользуемся равенством ()= F() - F() и устемим к (). Тогда получим = . В левой части последн. рав-ва в пределе вместо вер. попадания значения СВ в интервал получим вер. того, что СВ приняла отдельно взятое значение , т.е. . Значение предела в правой части рав-ва зависит от того, явл. ли функц. F(x) непрерывн. в точке или имеет в ней разрыв. Если функц. имеет разрыв, то предел равен величине скачка функции F(x) в точке . Т.к. по предположению функц. F(x) всюду непрерывна, то = F() - F() = 0. Т.о. = = =0. При непрерывн. распределении вероятностей, т.е. когда функц. распредел. непрерывна, вер. попадания значения непрерывн. СВ на сколь угодно малый участок отлична от 0, тогда как вер. попадания в строго определен. точку равна 0. Воспользовавшись последн. св-вом, докажем, что для непрерывн. СВ выполняются след. рав-ва: Р() = = = . Докажем одно из соотношений. Соб. представл. собой сумму 2-ух несовместн. событий и . Тогда по теореме сложения вер. имеем Р() = + . Согласно последн. св-ву =0, тогда + = = F() - F(). Следоват-но = F() - F().

 

27. Матем. ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. ожидания.

Мат. ожидание. Возможн. значения СВ могут быть сосредоточены вокруг некотор. центра. Этот центр является некотор. средн. значением, вокруг кот. группируются остальн. значения СВ. Для хар-ки такой особенности распределения СВ служит мат. ожидание, кот. иногда называют центром распределения или ср. значением СВ. Пусть имеется дискретная СВ Х, заданная след. рядом распредел.:

Х	x1	x2	x3	…	xn
Р	p1	p2	p3	…	pn

Определ.: Мат. ожиданием M(X) дискретн. СВ X назыв. сумма произведений всех возможн. значений случ. величины на соответствующ. вероятности появления этих значений, т.е. M(X)= -форм. (1). Если дискретн. СВ принимает бесконечное счетное мн-во значений, то ее мат. ожидание выражается формулой M(X)= . Причем мат. ожид. в этом случае существует, если ряд в правой части рав-ва сходится абсолютно. Опред.: Мат. ожид. непрерывн. СВ Х, возможн. значения кот. принадлежат отрезку назыв. величина равная M(X)= , где f(x) – функция плотности распредел. непрерывной СВ Х. Если возможн. значения непрерывн. СВ Х принадлежат всей оси ОХ, то M(X)= . Здесь предполагается, что несобствен. интеграл сходится абсолютно, т.е. существует. Осн. св-ва мат. ожид.: Опред.: 2 СВ назыв. независимыми, если закон распредел. вероятностей одной из них не зависит от того, какие возможн. значения приняла др. величина. В противн. случае СВ называют зависимыми. Опред.: Неск-ко СВ назыв. взаимно независим., если закон распредел. любой из них не зависит от того, какие значения приняли какие-л. другие из оставшихся величин. 1) Мат. ожид. постоянной величины равно самой постоянной, т.е. M(C)=C. Доказ-во: Постоян. C можно рассматривать как дискретную СВ, кот. принимает знач. C с вероятностью =1. Тогда по формуле (1): M(C) =C p=C 1=C; 2) Постоян. множитель можно выносить за знак мат. ожид., т.е. M(kX)=kM(X). Доказ-во: Возможн. знач., кот. принимает СВ kX – это kx₁, kx₂,…,kx_n. Им соответствуют вероятн. p₁, p₂,…,p_n. Тогда M(kX)= = = kM(X); 3) Мат. ожид. алгебраич. суммы 2-ух СВ X и Y равно алгебраич. сумме их мат. ожиданий, т.е. M(X Y)=M(X) M(Y). Доказ-во: Пусть X и Y – дискретн. СВ, имеющие след. ряды распред.:

Х	x1	x2	x3	…	xn
Р	p1	p2	p3	…	pn

(Тоже самое для Y, только вместо p – q и в конце y_m и q_m). Пусть X и Y – независим. СВ. Найдем вер. появления значения , соответствующ. значению СВ . Для появл. указан. значения необходимо, чтобы с вер. появилось значение СВ Х, а с вер. - значение СВ Y . Значит вер. появл. значения = . Ряд распред. дискретн. СВ будет иметь вид:

			…		…
Р			…		…

Тогда M(X Y)= = = = M(X) M(Y); 4) Мат. ожид. произведения 2-ух независим. СВ X и Y равно произведению их мат. ожиданий, т.е. M(XY)=M(X) M(Y). Доказ-во: Пусть дискретн. СВ X и Y заданы рядами распред., приведенными при доказ-ве св-ва 3. Ряд распред. СВ XY для независим. СВ имеет вид: (такой же как и предыдущий, только x₁ y₁ и т.д.). Тогда мат. ожид. M(XY)= = = M(X) M(Y). Замеч.: Св-ва доказанные для дискретн. СВ справедливы и для непрерывн. СВ; 5) Мат. ожид. отклонения СВ от ее мат. ожид. равно 0, т.е. M(X – M(X))=0. Доказ-во: Используя св-ва 3 и 1 и учитывая, что мат. ожид. – величина постоянная, получаем, что M(X – M(X))= M(X) – M(M(X)) = M(X) – M(X) =0. Замеч.: Разность X – M(X) показывает, насколько знач. СВ отклонилось от мат. ожид. Эту величину назыв. отклонением СВ Х от ее мат. ожидания.

 

 

28. Дисперсия дсв и нсв. Св-ва дисперсии.

Дисперсией D(X) СВ называют матем. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания, т.е. D(X)=M(X-M(X))². Выбор дисперсии, определяемой по предыдущ. формуле в кач-ве хар-ки рассеивания значения СВ оправдывается тем, что дисперсия обладает св-вом минимальности. Это означает, что дисп. равна . Если X – это дискретн. СВ, то D(X)= . Если X – это непрерывн. СВ, принимающ. значения отрезка [a,b], то D(X)= f(x)dx, где f(x) – функция плотности распределения непрерывн. СВ X. D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому в кач-ве показателя рассеивания используют также величину . Ее называют средним квадратич. отклонением. Основн. св-ва дисперсии: 1) Дисперс. алгебраич. суммы 2-ух независим. СВ X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т.е. D(X Y)=D(X)+D(Y). Доказ-во: D(X Y)= M[(X Y) – M(X Y)]² = M((X Y) – (M(X) M(Y)))² = M((X – M(X) (Y – M(Y)))² = M[(X – M(X))² 2(X – M(X))(Y – M(Y)) + (Y – M(Y))]² = M(X – M(X))² 2M(X – M(X))M(Y – M(Y)) + M(Y – M(Y))² = D(X) + 0 + D(Y) = D(X)+D(Y); 2) Дисперсия постоян. величины равна 0, т.е. D(C)=0. Доказ-во: Т.к. M(C)=C, то D(C)= M(C – M(C))² = M(C – C)² = M(0) = 0; 3) Постоян. множитель С можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(CX)= C²D(X). Доказ-во: D(C)= M(CX – M(CX))² = M(CX – CM(X))² = M(C(X – M(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = M(C²)M(X – M(X))² = C²D(X); 4) Дисперсия СВ Х равна разности между мат. ожиданием квадрата СВ и квадратом ее мат. ожидания, т.е. D(X) = M(X²) – (M(X))². Доказ-во: По определ. дисперсии D(X) = M(X – M(X))² = M(X² – 2X M(X) + (M(X))²) = M(X²) – M(2X M(X)) + M(M(X))² = M(X²) – 2M(X) M(X) + (M(X))² = M(X²) – (M(X))². Замечание: При решении практич. задач для вычисления удобнее использовать формулу св-ва (4). Для дискретн. СВ эта формула будет иметь вид: D(X) = - (M(X))². Для непрерывн. СВ: D(X) = - (M(X))².