Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Независимые события. Теорема умножения для независим. событий.

Поиск

Определ: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вероятности появления другого, т.е. P(A)=PB(A) или P(B)=PA(B). Теорема: Вероятн. совместного появл. 2-ух независим. событий равна произведению их вероятностей, т.е. P(AB)= P(A) P(B). Доказат-во: Т.к. событие А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=PA(B). Тогда по теореме умножения вероятностей P(AB)=P(A) PA(B)= P(A) P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и события А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположн. им события. Теорема: Вероятн. совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятн. одного из них на условные вероятн. всех остальных. Причем условн. вероятн. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущ. уже наступили, т.е. P(A1 A2 …An)=P(A1) PA1(A2) , где - условная вероятность соб. Аn , вычисленная в предположении, что соб. А1, А2… Аn-1 произошли. Определ.: Событ. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противн. случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вероятн. совместн. появления нескольк. событ. независимых в совокупности равна произвед. вероятностей этих событий, т.е. P(A1 A2 …An)=P(A1) P(A2) P(An).

 

 

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий независим. в совокупности, либо некоторое из них. Причем вероятности появления кажд. из событ. известны. Как найти вероятн. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вероятн. появления хотя бы одного из событий А1, А2…Аn независим. в совокупн. Равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположн. событий , т.е. P(A1+A2+…+An)=1— P() . Доказ-во: Событ. (ни одно событ. не произошло) и событие A1+A2+…+An противоположны, значит P(A1+A2+…+An)+P()=1. Отсюда P(A1+A2+…+An)=1- P()=1- P() (последн. действие - по теореме умножен. вероятност.). Частный случай: Если событ. А1, А2…Аn имеют одинак. вероятность p, то вероятн. появления хотя бы 1 из этих событий вычисляется по формуле 1- qn, где q=1-p.

 

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некотор. события А, кот. может произойти вместе с одним из событий H1,H2,…,Hn, образующ. полную группу несовместн. событий. События H1,H2,…,Hn будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответств. условн. вер. события А. Доказ-во: Т.к. гипотезы H1,H2,…,Hn образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H1A+H2A+…+HnA. Т.к. гипотезы H1,H2,…,Hn несовместны, то и комбинации H1A,H2A,…,HnA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H1A)+P(H2A)+…+P(HnA). Применяя к событию HiA теорему умножения вероятностей, получаем P(A)= + +…+ .

 

 

Формула Байеса

Следствиеь теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместн. гипотез H1,H2,…,Hn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P(H1), P(H2),…, P(Hn). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некотор. событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти условн. вер. PA(Hi) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей: P(AHi)=P(A) PA(Hi)=P(Hi) , ; PA(Hi)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полн. вероятности, получаем PA(Hi)= , . Данная формула назыв. формулой Байеса или теоремой гипотез.

 

 

Формула Бернулли

При решении вероятностн. задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некотор. соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n испытаний, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вероятность события в кажд. отдельн. испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n испытаниях. Подобн. задачи решаются довольно легко, если испытания явл. независимыми. Опред.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независим. опыты. Производится n независим. опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некотор. соб.А. Вер. появл. данного события в кажд. опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. Pn(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие Bm, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. Bm на сумму произведен. событий, состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. Bm должен состоять из m появлений соб. А или n-m непоявл. соб. А. Bm1А2…Аm . Каждое произведен. соб. А должно происходить m раз, а n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умножен. для независ. событий равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. Bm равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 196; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.44.186 (0.008 с.)