Независимые события. Теорема умножения для независим. событий.

Определ: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вероятности появления другого, т.е. P(A)=P_B(A) или P(B)=P_A(B). Теорема: Вероятн. совместного появл. 2-ух независим. событий равна произведению их вероятностей, т.е. P(AB)= P(A) P(B). Доказат-во: Т.к. событие А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=P_A(B). Тогда по теореме умножения вероятностей P(AB)=P(A) P_A(B)= P(A) P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и события А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположн. им события. Теорема: Вероятн. совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятн. одного из них на условные вероятн. всех остальных. Причем условн. вероятн. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущ. уже наступили, т.е. P(A₁ A₂ …A_n)=P(A₁) P_A1(A₂) , где - условная вероятность соб. А_n , вычисленная в предположении, что соб. А₁, А₂… А_n-1 произошли. Определ.: Событ. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противн. случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вероятн. совместн. появления нескольк. событ. независимых в совокупности равна произвед. вероятностей этих событий, т.е. P(A₁ A₂ …A_n)=P(A₁) P(A₂) … P(A_n).

 

 

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий независим. в совокупности, либо некоторое из них. Причем вероятности появления кажд. из событ. известны. Как найти вероятн. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вероятн. появления хотя бы одного из событий А₁, А₂…А_n независим. в совокупн. Равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположн. событий , т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=1— P() . Доказ-во: Событ. (ни одно событ. не произошло) и событие A₁+A₂+…+A_n противоположны, значит P(A₁+A₂+…+A_n)+P()=1. Отсюда P(A₁+A₂+…+A_n)=1- P()=1- P() (последн. действие - по теореме умножен. вероятност.). Частный случай: Если событ. А₁, А₂…А_n имеют одинак. вероятность p, то вероятн. появления хотя бы 1 из этих событий вычисляется по формуле 1- qⁿ, где q=1-p.

 

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некотор. события А, кот. может произойти вместе с одним из событий H₁,H₂,…,H_n, образующ. полную группу несовместн. событий. События H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответств. условн. вер. события А. Доказ-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вероятностей, получаем P(A)= + +…+ .

 

 

Формула Байеса

Следствиеь теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместн. гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некотор. событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти условн. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей: P(AH_i)=P(A) P_A(H_i)=P(H_i) , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полн. вероятности, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула назыв. формулой Байеса или теоремой гипотез.

 

 

Формула Бернулли

При решении вероятностн. задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некотор. соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n испытаний, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вероятность события в кажд. отдельн. испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n испытаниях. Подобн. задачи решаются довольно легко, если испытания явл. независимыми. Опред.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независим. опыты. Производится n независим. опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некотор. соб.А. Вер. появл. данного события в кажд. опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведен. событий, состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А или n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m … . Каждое произведен. соб. А должно происходить m раз, а n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умножен. для независ. событий равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой