Закон распределения случайной величины

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Формой задания закона является таблица

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения .

 

 

				Полигон распределения

 

p₁

x_i

x₁ x₂ x₃ … x_n

Многоугольник распределения - также одна из форм закона распределения.

15. Интегральная Функция распределения Св и ее св-ва:

Мы рассмотрели закон распределения дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины такую характеристику построить нельзя. Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (несчетное множество). Для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения, как он существует для дискретной величины. Но различные области возможных значений случайных величин все же не является одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует распределение вероятностей, хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики, этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается , .

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения есть самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

- неубывающая, т.е. при , ;

1. ; .

Проиллюстрируем эти свойства с помощью геометрической интерпретации. Б. рассм-ть СВ как случайную точку на оси ОХ.

Тогда есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .

Очевидно, при этом вероятность того, что попадет левее , не может уменьшаться; следовательно, с возрастанием убывать не может.

Неограниченно перемещаем точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием: естественно полагать, что вероятность этого события ® 0, т.е. . Аналогично перемещая точку вправо, убеждаемся, что , т. к. событие становится в пределе достоверным. То, что – монотонно неубывающая функция на всей числовой прямой, можно показать следующим образом: пусть . Рассмотрим событие = и = . Æ, . Применим теорему сложения для несовместных событий и : или , т.е. , т.к. .

Из полученного только что равенства имеем:

. Отсюда следует, что какой бы ни был задан полуинтервал , зная , мы можем рассчитывать вероятность, с которой случайная величина принимает значение . Если вероятность оказалась, например, равной нулю, то это значит, что на данном промежутке нет возможных значений .

Построим график функции распределения – это график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.

F(X)

 

1

 

0 X

 

Зная ряд распределения случайной величины легко построить функцию распределения этой величины. Действительно, , где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .

16. Плотность распределения CВ и ее св-ва

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до .

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Dx®0. В пределе получим производную от функции распределения Обозначим . (*)

Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . Иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины .

 

 

 

 

 

Плотность распределения так же, как и функция распределения есть одна из

 

 

форм закона распределения. Функции распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке . Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок есть .

 

 

 

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, оно равно

.

Формула (*) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда .

Св-ва:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция , что вытекает из того, что - неубывающая функция;

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1:

, что следует из формул и .

3.

Действительно, .

Геометрически все основные свойства плотности распределения означают, что

- кривая лежит не ниже оси абсцисс;

- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

 

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и , равна площади заштрихованной криволинейной трапеции.

 

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

1. Найти плотность распределения f(x).

2. Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

 

Решение. Плотность распределения выражается формулой: