Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Дисперсия случайной величины

Поиск

Дисперсия случайной величины есть характеристика распределения, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает ”рассеивание”.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Если - дискретная случайная величина, которая задается как

То

Когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то

. Дисперсия как мера рассеивания значений случайной величины обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью случайной величины (размерность дисперсии – это квадрат размерности случайной величины).

Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью случайной величины. Это так называемое среднее квадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратичное отклонение обозначается символом: или ,


Свойства дисперсии

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю. Действительно,

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат. Действительно,

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть Здесь было использовано свойство математического ожидания: если и – независимые случайные величины, то .

4. Упрощенное правило вычисления дисперсии: дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, то есть .

Доказательство

ведь - постоянная величина.

 


Система случайных величин. Свойства распределения двумерного случайного вектора

В ТВ часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более СВ, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. Пусть имеется упорядоченная система n случайных величин . Будем называть ее случайной векторной или -мерной случайной величиной и обозначать так: .

Тогда -ая случайная координата вектора . Упорядоченную систему из случайных величин можно рассматривать и как случайную точку с координатами в -мерном евклидовом пространстве.

Чтобы задать случайный вектор, надо указать все те значения, которые он может принимать, и соответствующие этим значениям вероятности, т.е. вероятности, с которыми эти значения принимаются. Универсальным способом задания случайного вектора является задание его функции распределения, которая определяется равенством

.

В двумерном случае - это вероятность попадания случайной точки в область

Y

y M(x,y)

 

 
 


0 x X

 

Остановимся подробнее на двумерном случае. При этом пусть , . Свойства функции распределения случайного вектора аналогичны свойствам функции распределения случайной величины. Перечислим их:

1. ; 2. - неубывающая функция

по каждой из переменных; 3. ,

4.

 


Функция распределения дискретного двумерного случайного вектора.

Пусть распределение вектора - дискретное, и может принимать значения , а - . Тогда все возможные ситуации отражаются в таблице:

 

 
   

 

Здесь – это вероятность того, что случайный вектор примет значение - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины . А - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины .

Функциия распределения вектора очевидно определяется равенством

где суммирование распространяется на все , для которых , а принимает все такие значения, для которых .




Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 478; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.22.34 (0.007 с.)