Функция распределения системы двух случайных величин и ее свойства. ( в файле 2)

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , т. е.

 

 

Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант плоскости (рис. 14) с вершиной в точке .

 

Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин.

 

Свойство 1.

или символически

Свойство 2.

или

Свойство 3.

 

или

 

Свойство 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

 

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15), вычисляется, по формуле

 

 

Плотность распределения системы случайных величин и ее свойства.

(в файле 2)

Предположим, что функция распределения непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда смешанная частная производная функции

 

 

Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин . Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область

 

(5.1)

 

Используя формулу (5.1), выразим функцию распределения системы через плотность распределения :

 

(5.2)

 

Рассмотрим свойства плотности распределения системы двух случайных величин.

 

Свойство 1. Плотность распределения есть функция неотрицательная: .

 

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы равен единице:

 

Плотности распределения СВ, входящих в систему, условный закон распределения.

(в файле 2)

Условные законы распределения

 

Пусть известна плотность распределения системы двух случайных величин. Используя свойства функций распределения, можно вывести формулы для нахождения плотности распределения одной величины, входящей в систему:

 

 

(5.3)

 

Перейдем теперь к решению обратной задачи: по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. Легко увидеть, что в общем случае эта задача неразрешима. Действительно, с одной стороны, законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, характеризуют каждую из случайных величин в отдельности, но ничего не говорят о том, как они взаимосвязаны. С другой стороны, искомый закон распределения системы должен содержать все сведения о случайных величинах системы, в том числе и о характере связей между ними.

 

Таким образом, если случайные величины взаимозависимы, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения.

 

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

 

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения. Условная функция распределения обозначается , условная плотность распределения — (мы записали условные законы распределения случайной величины при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение).

 

Плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение (условной плотностью распределения), назовем величину

 

 

Аналогично плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение, назовем величину

 

. Отсюда получаем .

или с учетом формул (5.3)

 

 

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения. В частности,

 

 

24. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Для характеристики двумерной случайной величины (X, Y) вводят дополнительные числовые характеристики, которые выражают степень зависимости ее составляющих X иY.
^ Начальным моментом порядка s, h системы двух случайных ве­личин X, Y называется математическое ожидание произведения степе­ни s случайной величины X и степени h случайной величины Y:

25. Центральным моментом порядка s, h системы СВ (X, Y) называ­ется математическое ожидание произведения степеней s, h соответст­вующих центрированных случайных величин:

где X=X - M(X), Y=Y – M(Y) – центрированные случайные величины X и Y.
Основным моментом порядка s, h системы СВ (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s,h:

Начальные моменты :

Вторые центральные моменты:
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OX.
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OY.
Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент,который называется корреляционным моментом (ковариацией):

Корреляционный момент является мерой связи случайных ве­личин. Если случайные величины X и Y независимы, то математиче­ское ожидание равно произведению их математических ожиданий:
, отсюда
Если ковариация случайных величин не равна нулю, то говорят, что случайные величины коррелированны. Ковариация может прини­мать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h =1, который называют ко­эффициентом корреляции:
где

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависи­мости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:

1. 
   
2. 
   если , то случайные величины линейно зависимы;
3. 
   если , то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.

25. Неравенство Чебышева. Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

, где .

Если , где - стандартное отклонение и , то получаем

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .