Центральные предельные теоремы

Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

Эту теорему иногда называют теоремой Линдеберга-Леви [3, с.122].

В ряде прикладных задач не выполнено условие одинаковой распределенности. В таких случаях центральная предельная теорема обычно остается справедливой, однако на последовательность случайных величин приходится накладывать те или иные условия. Суть этих условий состоит в том, что ни одно слагаемое не должно быть доминирующим, вклад каждого слагаемого в среднее арифметическое должен быть пренебрежимо мал по сравнению с итоговой суммой. Наиболее часто используется теорема Ляпунова.

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых) – теорема Ляпунова. Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m_i и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Пусть при некотором δ>0 у всех рассматриваемых случайных величин существуют центральные моменты порядка 2+δ и безгранично убывает «дробь Ляпунова»:

где

Тогда для любого действительного числа х существует предел

₍₁₎

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

В случае одинаково распределенных случайных слагаемых

и теорема Ляпунова переходит в теорему Линдеберга-Леви.

Теорема Линдеберга-Феллера. Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m_i и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Предельное соотношение (1), т.е. центральная предельная теорема, выполнено тогда и только тогда, когда при любом τ>0

где F_k (x) обозначает функцию распределения случайной величины X_k.

Необходимое и достаточное условие многомерной сходимости [3, с.124]. Пусть F_n обозначает совместную функцию распределения k -мерного случайного вектора , n = 1,2,…, и F_λn – функция распределения линейной комбинации . Необходимое и достаточное условие для сходимости F_n к некоторой k -мерной функции распределения F состоит в том, что F_λn имеет предел для любого вектора λ.

Теорема о многомерной сходимости. Пусть F_n и F_λn – те же, что в предыдущей теореме. Пусть F - совместная функция распределения k -мерного случайного вектора . Если функция распределения F_λn сходится при росте объема выборки к функции распределения F_λ для любого вектора λ, где F_λ – функция распределения линейной комбинации , то F_n сходится к F.

Здесь сходимость F_n к F означает, что для любого k -мерного вектора такого, что функция распределения F непрерывна в , числовая последовательность F_n сходится при росте n к числу F . Многомерная центральная предельная теорема [3]. Рассмотрим независимые одинаково распределенные k -мерные случайные вектора

где штрих обозначает операцию транспонирования вектора.

Предмет математической статистики.

Математическая статистика — это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений (то есть, математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями).

Методы анализа массовых явлений — предмет многих научных дисциплин; но только в том случае, когда для анализа привлекаются формальные (абстрактные) математические модели, эти методы становятся статистическими.

Математическая статистика подразделяется на две обширные области:

описательная статистика	аналитическая статистика (теория статистических выводов)
методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.	обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для конкретной области человеческой деятельности.