Биномиальный закон распределения

Случайная величина , которая принимает значение с вероятностью , называется распределенной по биномиальному закону.

Если проводятся независимые испытания, в каждом из которых событие может наступить с одной и той же вероятностью , то число наступлений события в испытаниях и есть случайная величина .

Приведем таблицу распределения биномиальной случайной величины

 

Значения				…
Вероятности				…

Проверим корректность определения случайной величины , т.е. выполнения требования

.

Здесь - вероятность того, что событие не наступит ни разу; - наступит один раз; - два раза и т.д. или, наконец, раз. Но это вероятность достоверного события и поэтому равна единице.

Найдем математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины . Пусть - это число наступлений события в ом испытании. Тогда распределение случайной величины задается таблицей

Значения
Вероятности

Очевидно, что , - независимые случайные величины и их сумма - это случайная величина . Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины :

, , .

Тогда

,

.

Итак, , , .

Закон распределения Пуассона

Случайная величина , которая принимает значение с вероятностью

,

где , , называется распределенной по закону Пуассона с параметром . Этот закон может быть записан в виде следующей таблицы:

 

Значения				…		…
Вероятности				…		…

Данное выше определение корректно. Действительно, и

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины

.

,

Таким образом, если распределено по закону Пуассона с параметром , то

.

Согласно теореме Пуассона, распределение Пуассона – это предельный случай биномиального распределения, когда , и . По закону Пуассона распределены числа так называемых редких явлений (например, число рождения четверней, число вызовов на АТС, поступивших в течение минуты, число несчастных случаев на производстве и т.д.).

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина, которая принимает значения только на сегменте [a,b] с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.

Из определения следует, что плотность распределения определяется равенством

и должна удовлетворять двум требованиям: 1)

2) , , , . Таким образом

 

Найдем функцию распределения данной случайной величины. Известно, что , Тогда согласно формуле выше, получим

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной равномерно на сегменте [a,b]:

 

Следовательно, , ,

Равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами. Например, если число округлено до целого, то ошибка округления распределена равномерно на .

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения

,

называется распределенной по показательному закону с параметром . Так как

 

,

т.е. приведенное определение корректно.

Функция распределения показательно распределенной случайной величины X имеет вид:

 

Найдем математическое ожданиеи дисперсию случайной величины, распределенной по показательному закону.

Поэтому

Нормальный закон распределения

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если плотность рапределения определяется по формуле

 

 

где и а – параметры распределения.

 

Так как и [введем замену ]

 

 

таким образом, приведенное выше определение корректно.

Математическое ожидание нормального закона распределения.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами и а:

 

 

Проведем замену в этом интеграле , тогда , , пределы интегрирования не меняются и, следовательно,

 

(интеграл от нечетной функции равен нулю по симметричному относительно начала координат промежутку).