Принцип практической невозможности маловероятных событий

Особую роль в статистических исследованиях играют практически невозможные (и сопутствующие им практически достоверные) события. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью. В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который можно сформулировать следующим образом:

Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление.

В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся этим принципом. Например, выезжая куда-то на поезде, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется.

Насколько маленькой должна быть вероятность события, чтобы это событие можно было считать практически невозможным? Ответ на этот вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений в зависимости от сферы приложений полученных результатов. Чем более опасными являются последствия возможной ошибки предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозможным. Например, заложенная в проекте строительства атомной станции, вероятность 0,01 того, что здание не разрушится при природных катаклизмах, считается абсолютно недопустимой, но такая же вероятность ошибки при прогнозировании погоды может считаться приемлемой. Остаточно малую вероятность, при которой (применительно к данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно заключен между 0,01 и 0,05.

Формулы комбинаторики

 

Для подсчета вероятности события с использованием классической схемы необходимо уметь определять число всех событий, составляющих пространство элементарных событий, а также число элементарных событий, составляющих событие . Для вычисления этих показателей часто используют формулы комбинаторики. Комбинаторика, - раздел математики, посвященный решению задач построения и подсчета числа конфигураций элементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания

Набор элементов из –элементного множества называется выборкой объема из элементов или -выборкой. Выборка называется упорядоченной, если зафиксирован порядок следования элементов в ней. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов (выборки (1,3,5) и (5,1,3)), считаются различными. Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов из основного набора.

Упорядоченные -выборки при возможности повтора элементов называют размещениями с повторениями из элементов по или -размещениями с повторениями, а их число обозначают символом .

Если элементы упорядоченной -выборки попарно различны, то ее называют размещением из элементов по без повторений или -размещением без повторений. Количество -размещений без повторений будем обозначать через .

Неупорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться, называется сочетанием с повторениями из элементов по или, короче, -сочетанием с повторениями, а число -сочетаний с повторением обозначают символом .

Если элементы неупорядоченной выборки попарно различны, она называется сочетанием (без повторений) из элементов по или -сочетанием. Каждое такое сочетание представляет собой подмножество мощности множества . Число сочетаний из элементов по будет обозначаться через .

Пример 1.5. Пусть и необходимо построить выборку из 2 элементов, . Тогда имеются:

· девять размещений с повторениями – ;

· шесть размещений без повторений – ;

· шесть сочетаний с повторениями – ;

· три сочетаний без повторений – .

В первом случае, перечисляются всевозможные пары элементов из множества . Удаление из списка пар с повторяющимися значениями приводит ко второму случаю, третий случай содержит только пары с точностью до перестановки элементов, удаление из третьего списка пар с повторяющимися элементами дает четвертый список.

Фундаментальную роль в решении перечислительных задач комбинаторики играют правило суммы и правило произведения:

Правило суммы заключается в следующем: Если существует разбиение множества изучаемых комбинаций на классы (каждая комбинация содержится ровно в одном классе), то общее число комбинаций равно сумме комбинаций, входящих в каждый из классов.

При наличии 2 классов правило суммы можно интерпретировать так: если объект может быть выбран способами, а объект – другими способами при условии, что одновременный выбор и невозможен, то выбор « или » можно осуществить способами.

Правило произведения можно сформулировать следующим способом: Если объект типа можно выбрать способами, и после такого выбора объект можно выбрать способами, то выбор пары можно осуществить способами.

Пример 1.6. Пусть имеется схема дорожного сообщения между населенными пунктами и . Часть дорог проходит через населенный пункт (3 дороги соединяют и , 4 дороги - и ), а часть через (5 дорог соединяют и , 2 дороги - и ). Необходимо подсчитать число различных способов проезда от к при условии, что каждый населенный пункт посещается не более одного раза.

Решение. Разобьем множество всех вариантов на два подмножества: - множество дорог, ведущее от к через пункт , соответственно - множество дорог, ведущее от к через пункт . Тогда по правилу сложения необходимо найти решения задачи для случаев и с последующим суммированием результатов. Поскольку для каждого выбора дороги из в существует 4 выбора продолжения пути из в , то число решений задачи равно 3*4=12(правило умножения). Полное решение задачи описывается формулой 3*4+5*2=22.

Пример 1.7. Посчитать число двоичных последовательностей длины

Решение: Каждый элемент последовательности может независимо от окружения принимать одно из двух значений 0 или 1. Применяя правило произведения, и учитывая длину последовательности, получаем, что число последовательностей равно произведению двоек или .

Обозначим через произведение всех целых чисел от 1 до . Положим . Приведем без доказательства следующий результат:

Теорема. Пусть производится выборка элементов из множества содержащего элементов. В зависимости от типа выборки имеем

1)

2)

3)

4)

Пример 1.8. Пассажир забыл пароль камеры хранения на вокзале. Каково максимальное число вариантов необходимо перебрать, если пароль содержит 5 символов, набираемых в алфавите из 32 символов?

Решение: При наборе каждого символа последовательности открывающей код камеры необходимо сделать выбор из 32 символов алфавита. Всего отбирается 5 символов, причем один и тот же символ может встречаться в набираемой последовательности многократно. При этом порядок следования символов в пароле важен. Имеем случай размещений с повторениями с параметрами . Тогда .

Пример 1.9. Сколько существует способов рассадить на опознании группу из 6 человек в ряд вдоль стены?

Решение: Имеется 6 мест, на которые необходимо рассадить 6 человек. Ни один человек не может одновременно занимать два места. Из условия задачи следует, что порядок выбора существенен. Имеем схему размещений без повторений с параметрами: . Поэтому количество вариантов равно

Пример 1.10. Сколько существует способов отобрать 4-х студентов на сельхоз-работы из группы 9 студентов?

Решение: Из условия задачи следует, что важно назвать отобранных студентов, а порядок отбора не важен, кроме того, один и тот же студент не может быть отобран более одного раза. Имеем схему без повторений, порядок следования не важен. Тогда ответ задачи в соответствии с теоремой описывается числом:

Пример 1.11. Сколько существует способов разделить наследство в 100 рублей с точностью до рубля между 10 наследниками?

Решение: Расположим 100 рублей по рублю в ряд, и проставим 9 меток между ними. Выбор меток определяет распределение наследства суммы между наследниками. Сумма, которая находится левее первой метки, достанется первому наследнику, между первой и второй – второму, и т.д. Все, что лежит правее последней девятой метки, отходит 10 наследнику. При совпадении двух меток, соответствующий наследник ничего не получает. Поэтому наследодателю необходимо определить положения 9 меток (метки повторяются, поэтому имеем повторную выборку) между 100 позициями (учитывая расположение меток, всего позиций - 109), порядок выбора меток несущественен. Имеем неупорядоченную -выборку, в которой элементы могут повторяться. Ответ определяется выражением , которое является достаточно большим числом и здесь не приводится.

Разберем несколько примеров подсчета вероятности по формуле (1).

Пример 1.12. В коробке шесть одинаковых занумерованных кубиков. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение: Обозначим через - событие, что кубики выбраны в порядке возрастания их номеров. Поскольку извлеченный кубик не возвращается в коробку, то общее число вариантов равно . Комбинация, составляющая событие А, имеется в единственном виде (). Следовательно, .

Пример 1.13. В группе 12 студентов, из них 5 отличников. По списку, наудачу, отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов – три отличника.

Решение: Возможность числа вариантов выбора 9 студентов из 12 описывается формулой . Это число составляет значение для нашей задачи. Для того чтобы найти необходимо подсчитать число вариантов, при которых в отобранную группу входит 3 отличника. Поскольку этих отличников можно выбирать только из 5 человек, то число таких вариантов равно . Оставшиеся шесть места заполняются не отличниками (возможных кандидатов - 7). Общее число вариантов выбора равно . Используя правило произведения, получим . Тогда, .

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется величина

Условную вероятность определяется лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Пример 1.14. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

Решение: Обозначим через событие выпадения более 3 очков. Тогда . Событию (выпало четное число очков) благоприятствуют два из них: . Поэтому, .

Другое решение задачи получается с использованием формулы, определяющей условную вероятность. Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих внутри (то есть благоприятствующих одновременно и ), к числу исходов, благоприятствующих .

Из вышесказанного следует, что . В общем виде, предыдущее соотношение выглядит следующим образом:

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость. События A и B называются независимыми, если . Тогда

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей. Легко видеть, что и . Независимость одного события от другого означает, что осуществление одного из них никак не влияет на результат другого события.

Пример 1.15. Найти вероятность совместного поражения цели двумя стрелками, если вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6.

Решение: При одновременной стрельбе по цели двух стрелков событие поражения цели первым стрелком и событие поражения цели вторым стрелком являются независимыми. При условии, что и вероятность их совместного попадания равна .

Отметим, что если независимы события и , то независимы и события и , и , и .

События называются попарно независимыми, если любая пара из них является парой независимых событий

События называются независимыми в совокупности, если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Пример 1.16. Являются ли зависимыми события извлечь из колоды, содержащей 32 карты – туза и карту червовой масти?

Решение: Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – туз. Событие В состоит в том, что извлечённая карта червовой масти. Очевидно, что Р(А)=4/32=1/8, и Р(В)=8/32. Поскольку вероятность извлечения из колоды червового туза равна , то из соотношения следует, что события А и В независимы.

 

Свойства вероятности

 

1. вероятность принадлежит интервалу [0,1]. Вероятность достоверного события равна 1, невозможного события – равна нулю , ,

2. сумма вероятностей некоторого события и его дополнения равна 1

3. свойство монотонности вероятности

4. вероятность объединения событий:

Пример 1.17. Два стрелка сделали по одному выстрелу. Найти вероятность поражения цели ровно одним стрелком в тире, если вероятность попадания первого стрелка 0,6, а второго – 0,7.

Решение: Обозначая через А – событие: попадание первого стрелка, через В – соответственно для второго стрелка, учитывая независимость событий, будем иметь, что искомая вероятность складывается из вероятностей двух событий:

- попал первый стрелок, второй – промахнулся;

- попал второй стрелок, первый – промахнулся;

Тогда,

Пример 1.18. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

Решение: Поскольку колода содержит по 4 карты одинакового ранга и по восемь карт одной масти, имеем

Р(ТУЗ) = 4/32 = 1/8; Р(ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ) = 8/32 = 1/4;

Однако имеется одна карта ТУЗ ЧЕРВЕЙ, которая обладает каждым из этих свойств: Вероятность вытащить эту карту равна Р(ТУЗЧЕРВЕЙ)=1/32; Тогда

Пример 1.19. Три стрелка стреляют в мишень. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение: Для решения задачи можно использовать формулу сложения вероятностей. Однако с ростом числа событий эта формула усложняется. С другой стороны, несложно заметить, что событие, попадания в мишень хотя бы одного стрелка, является дополнением события, что мишень после выстрелов останется непораженной (событие ). Событие возможно лишь в случае, когда промахнется каждый из стрелков (промахи и попадания каждого стрелка не зависят от результатов выстрелов других стрелков). Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Поскольку , имеем

Формула полной вероятности

Пусть имеется полная группа событий и для каждого из событий известна вероятность наступления этого события, . Пусть А – некоторое событие, которое может наступить при выполнении одного из событий ; известны условные вероятности , . Необходимо найти .

Из определения следует, что все события, составляющие полную группу, попарно несовместны: ; их объединение образует пространство элементарных исходов W. В этом случае событие (см. рисунок) как бы разбивается на части, и подсчитывается средняя вероятность выполнения в зависимости от выполнения одного из событий :

Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

Пример 1.20. Студент перед зачетом выучил 20 вопросов из 25. Каждый билет содержит ровно один вопрос из программы. Каким по порядку (первым или вторым) лучше сдавать зачет, при условии, что каждый студент может отвечать только по одному выбранному билету, и каждый билет может быть выбран студентами ровно один раз(выбранный билет обратно не возвращается)?

Решение: Имеем две стратегии сдачи зачета. Обозначим через - событие, что студент выбирает счастливый билет. Тогда, при условии, что студент сдает зачет первым .

При условии, что студент сдает зачет вторым по порядку, возможны следующие события: - студент, сдававший первым, взял билет с вопросом, который наш студент не знает, и - был взят билет с вопросом, который наш студент знает. Тогда и . Несложно подсчитать, что и . По формуле полной вероятности получим

[5]

Формула Байеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу событий. Поскольку неизвестно какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события определяется по формуле полной вероятности

При условии, что событие произошло, можно вычислить вероятности событий . Имеет место формула Байеса

Вероятности , называются априорными (“a priori” – до опыта), вероятности - называются апостериорными (“a posteriopri” – после опыта). При справедливости гипотезы вероятность наступления события равна . Если в результате опыта событие наступило, то можно уточнить вероятности гипотез по указанной формуле.

Пример 1.21. [6] Пусть известно, что преступление могло быть совершено ровно одним из двух подозреваемых лиц (события и ); вероятность совершения преступления первым лицом равно , соответственно вторым лицом - . При проведении следственного эксперимента (событие ), обнаружилось, что некоторый факт мог иметь место с вероятностью 0.6, если преступником было первое лицо, и - с вероятностью 0.98 при условии, что преступник – второе лицо. Можно ли говорить о том, что следственный эксперимент подтвердил или опроверг исходные посылки?

Решение: Мы находимся в условиях формулы Байеса. Имеем: , , , . По формуле Байеса

Как мы видим, следственный эксперимент в небольшой степени снял подозрения с первого лица.

Случайная величина

 

При применении методов теории вероятностей исследователь чаще всего имеет дело с числовыми характеристиками наблюдаемого объекта, которые являются функциями элементарных исходов состояния объекта. Случайной называют числовую функцию[7], которая определена на множестве элементарных исходов. Примерами случайных величин являются:

4.1. Число родившихся мальчиков среди двухсот новорожденных является случайной величиной, принимающей значения от 0 до 200.

4.2. Число преступлений совершаемых за определенный период в некотором мегаполисе является случайной величиной, для значения которой мы можем дать только нижнюю оценку (значения ограничены снизу нулем).

4.3. Температура человеческого тела является также случайной величиной с бесконечным множеством значений.

4.4. Симметричная монета подбрасывается 3 раза. Число выпавших гербов является случайной величиной, которая принимает значения 0,1,2,3.

Дискретной называют случайную величину (с.в.), которая принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений с.в. может быть конечным или бесконечным (примеры 4.1 и 4.2.).

Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной с.в. бесконечно (пример 4.3).

Для задания с.в. необходимо перечислить множество ее значений с указанием вероятностей этих значений. Законом распределения дискретной с.в. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. При табличном задании с.в. получаем

:

: ,

где набор образует распределение вероятностей с.в. . Поскольку с.в. может принимать значения только из множества , то .

Распределение случайной величины можно задать различными способами:

· в виде таблицы значений величины и соответствующих им вероятностей

· в виде формулы:

· в виде диаграммы:

Рассмотрим пример 4.4.

При трехкратном подбрасывании симметричной монеты и анализе возможных результатов эксперимента мы имеем 8 элементарных событий, которые приведены в таблице

1 бросок	2 бросок	3 бросок	число гербов	вероятность
Р	Р	Р		1/8
Р	Р	Г		1/8
Р	Г	Р		1/8
Р	Г	Г		1/8
Г	Р	Р		1/8
Г	Р	Г		1/8
Г	Г	Р		1/8
Г	Г	Г		1/8

Интересующая нас случайная величина задается в виде таблицы

Число гербов
Вероятность	0,125	0,375	0,375	0,125

Для той же самой случайной величины распределение вероятностей может быть описано в виде формулы. Обозначим через - вероятность появления герба при однократном подбрасывании монеты, через - вероятность выпадения гербов при - кратном подбрасывании монеты. Тогда [8], , где - число способов выбора гербов из монет. Легко проверить, что при мы получаем распределение вероятностей из вышеприведенной таблицы.

Третий вариант задания распределения случайной величины является графическим. Случайная величина задается специальным графиком (гистограммой). Гистограмма строится таким образом, что площадь каждого прямоугольника при равных основаниях была пропорциональна вероятностям распределения данной с.в.

Ниже приведен пример гистограммы распределения нашей случайной величины

Случайные величины и , определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых значений а и b независимы события {X=a} и {Y=b}. Другими словами для любых значений а и b выполняется .

 

Математическое ожидание дискретной с.в.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида

где – -е значение случайной величины, а - вероятность принятия этого значения. Заметим, что если в формуле математического ожидания принять все вероятности равными 1/n, получается формула вычисления среднего арифметического чисел .

Пример 1.22: Найти математическое ожидание числа появлений события в одном испытании, если вероятность этого события равна р.

Решение. Построим случайную величину , принимающую значение 1, если событие происходит, и принимающую значение 0 в противном случае. Тогда .

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Пример 1.23: Найти математическое ожидание для случайной величины, описанной в примере 4.4.

Решение. Используя таблицу описания случайной величины, имеем

Смысл математического ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над случайной величиной, она приближенно равна среднему арифметическому числа наблюдаемых значений случайной величины (некоторое подобие центра тяжести в механике).