Свойства функции распределения

1.

2. - неубывающая функция:

3.

4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то при и

Квантили: При решении вероятностно-статистических задач применяется понятие «квантиль порядка р» (обозначается) , где
0 < p < 1. Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (если функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль порядка р, который определяется как решение уравнения F() = p.

Пример 3. Найдем квантиль порядка р для функции распределения F(x) из примера 2.

Решение. При 0 < p < 1 квантиль находится из уравнения , т.е. = a+p(b–a) = a(1-p)+bp. При p=0 любое x<a является квантилем порядка p=0. Квантилем порядка p=1 является любое число x > b.

Большую роль в статистике играет квантиль порядка . Он называется медианой (случайной величины Х или ее функции распределения F(x)) и обозначается Me(X). Медиана определяет значение на числовой оси, для которой вероятность для случайной величины попасть левее и вероятность попасть правее (или непосредственно в ), равны между собой и равны 0,5, т.е. .

Медиана указывает «центр» распределения. Точки и называются квартилями и вместе с медианой делят область значения случайной величины на 4 части, вероятности попадания в которые равны .

Другой характеристикой случайной величины является мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины. У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения каждая точка х такая, что , является модой. Однако этот пример скорее является исключением. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют единственную моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Каждая из трех характеристик – математическое ожидание, медиана, мода – по своему описывает «центр» распределения вероятностей. Однако для важного класса распределений – симметричных унимодальных – все три характеристики совпадают.

Распределение с плотностью называется симметрическим, если найдется такое число , что для любого . Это соотношение означает, что график функции симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии . Для функции симметричного распределения имеем . При соответственно имеем и . Приведенные соотношения показывают, что в случае симметричных распределений нет необходимости вычислять при всех х, достаточно иметь таблицы при x > x₀

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения , где F – функция распределения случайной величины Х. Если функция распределения F симметрична относительно 0, то . Тогда . Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если , то .

Если и - квантили порядка и соответственно для функции распределения, симметричной относительно 0, то .

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию:

.

Коэффициент вариации применяется при M(X)> 0 и измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратичное отклонение – в абсолютных.

Для каждой случайной величины можно построить центрированную с.в. , математическое ожидание которой равно 0, а . С.в. называется нормированной. Нетрудно проверить, что и .