Случайное событие и вероятность

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее и в котором наблюдается устойчивость в появлении относительного числа событий.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например, при многократном подбрасывании монеты результат подбрасывания зависит от многих факторов: от силы броска, от скорости вращения, от того, какой стороной лежит монета в момент броска, и т.д.

Результатом испытания является элементарное событие. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий. Под сложным событием (далее просто событие) понимается произвольное подмножество множества элементарных событий. Например, при подбрасывании симметричного кубика пространство состоит из элементарных событий , каждое из которых нумерует определенную грань кубика. В качестве событий можно рассматривать событие выпадения нечетной грани или выпадение числа очков более 3 (), или выпадение четной грани , выпадение какой либо грани ().

Наблюдаемые события разбиваются на следующие три класса:

· Достоверные – события, которые обязательно происходят, если будет осуществлена определенная совокупность условий; Примером достоверного события является событие , которое состоит из всех элементарных событий.

· Невозможные – события, которые никогда не происходят, если будет осуществлена определенная совокупность условий; В частности мы никогда не наблюдаем событие, что при подбрасывании кубик становится на ребро. Для обозначения невозможного события используется символ Æ.

· Случайные –события, которые при осуществлении определенной совокупности условий могут как произойти, так и не произойти. Примерами случайных событий являются события и (В дальнейшем, для обозначения событий будем использовать заглавные символы латинского алфавита).

События удобно изображать графически в виде рисунка, который называется диаграммой Венна. Обычно пространство элементарных исходов W изображают в виде прямоугольника, а множество элементарных исходов, благоприятствующих событию A в виде эллипса. Такие рисунки называются диаграммами Венна. Сами исходы на диаграммах Венна не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей.

Сложное событие наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло некоторое элементарное событие, входящему в это сложное событие. Например, выпадение грани с номером “4” влечет наступление событий , и . Имея некоторый набор событий можно по определенным правилам строить новые события.

Дополнением события - называется событие, включающее в себя все элементарные исходы, не содержащиеся в . Например, событие С является дополнением события ().

Суммой(объединением) двух событий и является событие
. Событие состоит из всех элементарных событий, входящих в или в . При этом если элементарное событие входит одновременно в , и в , то в объединение оно входит один раз. Для наших примеров . Аналогично сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят, по меньшей мере, в одно из событий . Приведем еще один пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие – в том, что в мишень попадает 2-й. Событие означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Произведением (пересечением) событий и называется событие .[1] Событие состоит из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат одновременно и , и . Например, в приведенном выше примере со стрелками, пересечение событий и состоит в событии, что оба стрелка одновременно поразили цель.

Разностью событий и называется событие , состоящее из всех исходов события , не входящих в событие . В случае нашего примера .

 

 

Событие включается в событие , если любой элементарный исход, содержащийся в также содержится и в . Включение событий обозначается . В случае строго включения, имеем . В этом случае говорят, что событие влечет событие . Например, событие выпадения одинаковых очков при бросании двух костей, вкладывается в событие, что сумма очков на выпавших костях - четна[2].

 

События и называются противоположными или дополнительными друг к другу, если они несовместны (не могут выполняться одновременно) и их объединение достоверно: , .

Полной группой событий называется конечный набор или счетная последовательность попарно несовместных событий , объединение которых достоверно:

,

Квантор означает, что условие выполняется для любого , отличного от . В результате эксперимента обязательно произойдет одно и только одно из событий, составляющих полную группу. Любое событие вместе со своим дополнением образует полную группу событий. В частности всевозможные элементарные события по отдельности образуют полную группу событий. События , и также образуют полную группу событий для эксперимента подбрасывания игральной кости.

Множество событий вместе с набором перечисленных выше операций образуют алгебру событий. Используя операции этой алгебры можно строить достаточно сложные по своей структуре события. При этом одно и то же событие может быть выражено различными формулами. Формулы, которые выражают одинаковые события, называют эквивалентными и соединяют знаком равенства. Например, , .

Определение вероятности

Возможность наступления различных событий может различаться. Будем считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "температура выше 30-ти градусов тепла в июле" более вероятно, чем "выпадение снега в Казани тот же день", а событие "появление шаровой молнии" крайне мало вероятно. Поэтому, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.

Каждому событию приписывается некоторое число, называемое его вероятностью и характеризующее степень возможности реализации этого события. При этом достоверному событию приписывается вероятность 1, а невозможному событию вероятность 0. Все остальные события имеют вероятности, лежащие между нулем и единицей.

Пусть множество W состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновозможны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания(имеет место принцип симетричности). Если из них принадлежат событию A, то вероятностью события A называется число

(1)

Более строго, модель можно описать следующим образом:

Пусть , и , , , то . Очевидно, что .

Таким образом, вероятность показывает степень возможности осуществления данного события. Приведенное выше определение вероятности описывает достаточно частный случай и применимо только для конечного пространства элементарных событий. В общем случае теория вероятностей опирается на аксиоматическое определение вероятности, предложенное академиком А.Н. Колмогоровым (в данном учебном пособии не рассматривается). Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику с математических позиций, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д.

Пример 1.1. Бросили симметричную игральную кость. Какова вероятность того, что выпала грань, помеченная числом 3?

Решение: Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n = 6). Все эти варианты равновозможны, т.к. кость симметрична. Нас интересует единственный исход, следовательно, m = 1; значит , где через обозначена вероятность выпадения числа 3.

Пример 1.2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков?

Решение: Благоприятных возможностей здесь три: 1; 3; 5. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно , где через обозначено событие выпадение нечетной грани.

Пример 1.3. Бросают 2 игральные кости и сравнивают сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?

Решение: В этой задаче нас интересуют события - «выпало 7 очков» и - «выпало 8 очков». Число всех возможных исходов при бросании двух костей (каждое значение выпавшей грани на первой кости может сочетаться с любым значением на второй кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1) [3], т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:

Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем: . Следовательно, событие получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.

Однако вычисление вероятности события по формулам требует знания числа всех элементарных событий, а также количества элементарных событий, составляющих . При решении практических задач мы часто не имеем никакой информации об интересующих нас показателях. Существует другой подход к вычислению значения вероятности.

Если мы интересуемся событием , то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. В этом случае полезно использовать понятие частоты появления события - как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений.

Интуиция подсказывает, что частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события. Если мы наблюдали за событием всего пять раз и в трех случаях это событие произошло, то мало кто примет значение вероятности такого события равным 0.6 или 60%. Скорее всего, особенно в случаях необходимости принятия каких–то важных, дорогостоящих решений любой из нас продолжит наблюдения. Здравый смысл[4] подсказывает нам, что уж если в 100 наблюдениях событие произошло 12 раз, то мы можем с куда большей уверенностью полагать его вероятность равной 0,12.

Пример 1.4 Вероятность выпадения решки при подбрасываниях симметричной монеты, может быть вычислена как предельное значение частоты выпадения соответствующей стороны монеты при достаточно большом числе испытаний (каждое испытание заключается в однократном подбрасывании монеты с фиксацией выпадения решки). В таблице приведены результаты трех исследований, состоящих в многократном бросании симметричной монеты

Экспериментаторы	Число бросаний	Число выпадений решки	Частота
Ж. Бюффон	4040	2048	0,5080
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

Как видно, частота появления герба в сериях экспериментов мало отличается от 0,5 и с увеличением числа испытаний погрешность уменьшается.

Таким образом, вероятность можно рассматривать в качестве предела, к которому стремится частота наблюдения за событием при непрерывном увеличении числа наблюдений. Теория вероятностей доказывает существование такого предела и сходимость частоты к вероятности при стремлении числа наблюдений к бесконечности. Это положение носит название закона больших чисел.