Односторонние и двухсторонние значения вероятностей

При известном законе распределения с.в. часто приходится решать задачи трех стандартных типов:

· найти вероятность того, что случайная величина X окажется равной (не равной) некоторому значению ?

· найти вероятность того, что случайная величина X окажется больше (меньше) некоторого значения ?

· найти вероятность того, что случайная величина X окажется не меньше и при этом не больше ?

Первую вероятность называют "точечной", ее можно найти из закона распределения, но только для дискретной случайной величины. Разумеется, что вероятность равенства задана самим законом распределения, а вероятность неравенства составляет . Вторую вероятность принято называть "односторонней". Вычислять ее также достаточно просто – как сумму вероятностей всех допустимых значений больших(меньших) . Вероятность третьего типа называют "двухсторонней" и вычисляют как сумму вероятностей значений X внутри заданного интервала. Односторонняя и двухсторонняя вероятности являются универсальными понятиями – они применимы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Нормальное распределение

В 1910 году при изучении нескольких тысяч американцев по величине роста была обнаружена интересная закономерность в распределении этого показателя, которая заключалась в более или менее симметричном накоплении значений в центре ряда варьирования и постепенное убывание по численности по мере удаления от центра. Как выяснилось, такая закономерность присуща многим с.в., значения которых обусловлены достаточно большим количеством примерно одинаковых по силе воздействия случайных факторов (причин). Закон распределения таких с.в. получил название нормального закона распределения.

Для нормального закона функция распределения определяется как

,

где - математическое ожидание, а - средне квадратичное отклонение с.в., а

- функция плотности. Таким образом, закон нормального распределения является параметрическим и зависит от двух параметров и .

Чаще всего закон нормального распределения используется для нормированной случайной величины , у которой и . Закон распределения нормированной нормальной случайной величины называется стандартным, его функция распределения обозначается через . Табличные значения приводятся для . Ниже на рисунке приведен график функции плотности для нормированного случая(аналог гистограммы):

Площадь под кривой на заданном интервале определяет вероятность

попадания в этот интервал.

В условиях стандартного закона распределения можно отметить следующие особенности:

· Доказано, что целый ряд “классических” (хорошо изученных и часто используемых при статистических вычислениях) распределений (как дискретных, так и непрерывных) стремятся к нормальному при непрерывном изменении их внутренних параметров. Поэтому нормальное распределение используется для аппроксимации различных распределений, которые возникают при анализе достаточно большого объема данных.

· Симметрия нормального распределения позволяет достаточно просто оценивать вероятность попадания значений случайной нормированной величины в заданный диапазон.

· Очень часто в прикладной статистике приходится использовать понятие “маловероятного” значения. Для нормированной величины с нормальным распределением вероятность попадания в диапазон ± 3 составляет 0.9973 (правило “трех сигм”), следовательно, принятие значения случайной величиной за пределами этого диапазона является маловероятным событием.

· Особую роль нормальное распределение играет при решении вопросов о “представительности” наблюдений. Оказывается, что работа с выборочными распределениями в большинстве случаев позволяет решить проблему оценки предварительных выводов, предположений, гипотез – с использованием разработанных и теоретически обоснованных приемов на базе нормального закона.

Нормальное распределение является важным по многим причинам. В условиях, когда наблюдаемый процесс зависит от большого числа взаимо-независимых (или слабозависимых) факторов, вклад каждого из которых в процесс очень мал, распределение вероятностей такого процесса описывается нормальным законом. Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68% всех его наблюдений лежат в диапазоне ±1 стандартное отклонение от среднего, а диапазон ±2 стандартных отклонения содержит 95% значений. Другими словами, при нормальном распределении, стандартизованные наблюдения, меньшие -2 или большие +2, имеют относительную частоту менее 5%.