Генеральная и выборочная совокупность

В статистических исследованиях ставится задача изучения совокупности однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. (В качестве признака могут выступать температура человека, его рост, количество преступлений и т.д.). Качественные признаки обычно несут информацию о категориях, к которым можно отнести изучаемый объект и, в общем случае, могут выражаться нечисловыми (категоризованными) данными. Их нельзя складывать и умножать на коэффициенты. Математический аппарат анализа нечисловых статистических данных основан на использовании расстояний между элементами (а также мер близости или различия). С помощью расстояний определяются эмпирические и теоретические средние, доказываются законы больших чисел, строятся непараметрические оценки плотности распределения вероятностей, и т.д.

Очень часто по различным причинам бывает невозможно провести сплошное обследование всех значений изучаемых параметров (например, проверить на таможне качество каждого ввозимого лекарственного препарата). В таких случаях в результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра, которую называют выборочной совокупностью. Объем выборочной совокупности – число значений этой совокупности. Совокупность всевозможных значений параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом, называют генеральной совокупностью.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка:

Значение			…
Частота наблюдения			…

Здесь - это значение анализируемого параметра, а - количество анализируемых объектов, для которых это значение наблюдается. Полный объем выборки составляет . Довольно часто значения упорядочиваются по возрастанию. В этом случае, наблюдаемые значения изучаемых признаков называют вариантами, сами признаки – переменными, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Форма представления выборки в виде вариационного ряда не приводит к потере информации о каждом элементе выборки, но искажает информацию в целом, устанавливая зависимость между соседними элементами ряда. Число наблюдений различных значений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот. Для наглядности часто строят различные графики статистического распределения (полигоны частот и гистограммы). Пусть – количество наблюдений, при которых случайные значения параметра меньше . Частость события равна . Это отношение является функцией от и от объема выборки: . Величина обладает всеми свойствами функции распределения: неубывающая функция, ее значения принадлежат отрезку [0,1]; если – наименьшее значение параметра, а – наибольшее, то , когда , и , когда . Функция называется эмпирической функцией распределения. В отличие от эмпирической функции функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения, она характеризует не частость, а вероятность события .

При построении выборки приходится решать следующие важные задачи:

· обеспечение случайного отбора вариант из генеральной совокупности (все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковые шансы попасть в выборку);

· обеспечение репрезентативности (представительности) выборки, характеризующей в какой степени отобранные данные отражают структуру генеральной совокупности;

· определение необходимого объема выборки для формирования статистически значимого заключения по результатам проведенных исследований.

Например, довольно сложно оценить ситуацию по определенным видам правонарушений по всей стране. В этом случае можно рассмотреть один или несколько регионов, провести анализ соответствующих показателей, и затем попытаться результаты исследований распространить на все регионы. На этом пути возникают определенные вопросы: Насколько правомерно результаты, полученные по одному региону переносить на другой регион? Ведь регионы отличаются по экономическим, этнографическим, историческим и другим показателям. Какой объем выборки считать достаточным, для получения результатов с определенной степенью надежности. Понятно, что исследование одного индивида в отдельности не позволяет делать вывод о состоянии общества для региона в целом. Какое количество правонарушений должно быть обследовано, чтобы гарантировать определенную надежность результатов обследования. Эти вопросы довольно сложны, требуют тщательного анализа и выходят за круг вопросов, рассматриваемых в данном курсе. С другой стороны совершенно ясно, что невозможно проверить все данные, и приходится принимать решения на основе анализа части имеющихся в наличии данных, заранее соглашаясь при этом на возможность ошибочного вывода.

Основные шкалы измерений

Как уже отмечалось выше, не все данные могут быть представлены в обычном числовом виде с возможностью выполнения арифметических операций. Например, совершенно бессмысленно умножать или складывать ИНН, номера телефонов. Для классификации данных используется различные шкалы:

1. Номинальная. В этой шкале числа используются лишь как метки. Примерами в такой шкале являются номера телефонов, автомашин, паспортов. Пол людей также измеряется в этой шкале и принимает два значения - мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос - номинальные признаки. Операции в номинальной шкале ограничиваются функцией отождествления объектов (). Номинальные шкалы позволяют проводить группировки данных по определенным значениям признаков.

2. Порядковая. В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. С использованием оценок можно проводить ранжирование учащихся по успеваемости. Мы понимаем, что отличная оценка лучше, чем тройка. Но нельзя утверждать, что знания отличника являются суммой знаний троечника и двоичника. Порядковыми шкалами являются – уровень жизни ("низкий", "средний", "высокий"), шкала силы землетрясений. Операции отождествления объектов в этой шкале пополняются операциями сравнения . Порядковые шкалы позволяют проводить упорядочивание объектов, но при этом не всегда можно определить насколько одно значение признака больше или меньше другого.

3. Интервальная (относительная). Интервальная шкала представляет шкалу количественных признаков, над которыми могут выполняться арифметические действия. В этой шкале можно найти разницу между двумя отчетами, но отсутствует понятие начальной точки отчета и масштаба измерений. Можно говорить, что числа 20 и 15, а также 30 и 25 одинаково отстоят друг от друга, но нельзя указать во сколько раз число 30 больше 25.

4. Абсолютная. Абсолютные переменные очень похожи на интервальные. В этих шкалах в дополнение ко всем свойствам переменных, заданных в интервальной шкале, характерной чертой является наличие определенной точки – абсолютного нуля и масштаба измерения. Поэтому в этой шкале можно говорить, что число 300 в три раза больше числа 100.

Часто в порядковых, интервальных и абсолютных шкалах к данным применяют операцию ранжирования (упорядочивания) данных. В зависимости от типа данных применяются совершенно разные статистические методы их обработки.

Значение параметра, вычисленное по ограниченному объему данных, является случайной величиной, поскольку значение такой величины от выборки к выборке может меняться заранее непредвиденным образом. Следовательно, в результате обработки данных определяется не точное значение параметра, а только лишь его приближенное значение – статистическая оценка параметра. Различают два вида оценок – точечные и интервальные. Точечными называют такие оценки, которые характеризуются одним числом. При малых объемах выборки точечные оценки могут значительно отличаться от истинных значений параметров, поэтому их вычисляют при большом объеме выборки, обычно . Интервальные оценки задаются двумя числами, определяющими вероятный диапазон возможного значения параметра. Эти оценки применяются для малых и для больших выборок.