Среднее квадратическое отклонение.

О п р е д е л е н и е. Средним квадратическим отклонением (X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дис­персии:

(X) =

Необходимость введения среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеря­ются в метрах, то еедисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рас­сеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое откло­нение.

П р и м е р. Случайная величина X - число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определим o(X). Имеем:

M(X) = l • + 2 • + 3 • + 4 • + 5 • + 6 • = 3,5;

D(X) = (1 - 3,5)² • + (2 - 3,5)² • + (3 - 3,5)² • +

+ (4 - 3,5)² • + (5 - 3,5)² • + (6 - 3,5)² • = 2,92;

(X) = 1,71.

Понятие o моментах распределения.

О п р е д е л е н и е 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание случайной вели­чины Х^k,где k -натуральное число:

v_k = M(X^k).

Cледствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

F(- )= F(x)=0; F(+ )= F(x)=1

2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности, или ее плотностью распределения) называется функция f(x), равная производной интегральной функции

f(x)=F’(x).

Так как F(x) -неубывающая функция, то f(x) 0.

Из равенства (2.9) с учетом неравенства F(x+ )-F(x) F’(x) , справедливо для малых , и свойства 5(п.1) имеем

P(x<X<x+ F

P(x<X<x+ )

(для малых , т.е. вероятность попадания случайной величины X в интервал (x; x+ при малых приближенно равна произведению ее плотности вероятности в точке x на длину этого интервала.

Имеет место и следующая теорема.

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a;b) равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от a до b:

P(a<X<b)= (2.13)

Доказательство. Так как F(x)является первообразной для f(x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем

(2.14)

Теперь с учетом (2.9), (2.12), (2.14) получим искомое равенство.

Из (2.13) следует, что геометрическая вероятность P(a<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности y=f(x) и отрезками прямых y = 0, x = a и x = b.

Следствие. В частности, если f(x) - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

P(-a<X<a)=P( <a)=2 (2.15).

 

Действительно.

П р и м е р 1. Пусть задана плотность вероятности случайной величины X

Найдем вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу(0,5; 1).

Согласно формуле (2.13), искомая вероятность

P(0,5<X<1)=2 =0,75.

Заменяя в формуле (2.14) а на - и b на х, получим

F(x) - F(- = откуда в силу приведенного выше следствия (п.1)

F(x)=

Выражение (2.16)позволяет найти интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.

Заметим что формулы (2.16) и отмеченного следствия вытекает что

Пример 2. Пусть плотность вероятности случайной величины Х задана так:

f(x)= (-

Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Покажем, что M(X)=a, или = D(x) Согласно формуле(2.18), получаем M(X)= dx.

Введя новую переменную t по формуле (2.24), с учетом равенства(2.25) получим M(X)= )e dt+ dt=a- e / =a.

Далее, а в соответствие с формулой (2.19)

D(X)= e- dx.

Воспользовавшись подстановкой(2.24), получим:

D(X)=

Применяя здесь метод интегрирования по частям (t=u, te dt=dv), получим с учетом (2.25)

D(X)=-

График функции (кривая Гаусса) имеет вид(рис 6). С учетом графика этой функции график функции (2.22) будет иметь вид (рис.7). Причем его максимальная ордината равна1/(). Значит эта ордината убывает с возрастанием значения (кривая «растягивается» к оси Ох-рис.8) и возрастает (кривая «сжимается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значение параметра а (при неизменном значении ) не влияет на форму кривой.

 

 

 

 

 

Нормальное распределение с параметрами а =0 и называется нормированным. Плотность вероятности в случае такого распределения оказывается равной