Плотность распределения вероятностей СВ

Плотностью распределения СВ (дифференциальной функцией распределения) называется такая функция р (х), что .

Свойства плотности распределения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ необходимо задать или плотность распределения, или функцию распределения.

Пример 5.1. Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть СВ Х – число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения СВ и записать функцию распределения.

Решение. СВ Х может принимать значения х_k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность найдем по формуле Бернулли: . По условию задачи .

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

.

Запишем закон распределения СВ

 

хi
pi	0,00001	0,00045	0,0081	0,0729	0,32805	0,59049

 

Найдем функцию распределения. По определению:

 

.

При ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при .

Окончательно

 

Пример 5.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

 

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение. Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения: .

 

.

 

Функцию распределения определим из условия .

Для ,

для ,

для .

Значит,

 

Пример 5.3. Дана функция распределения СВ:

 

 

Нужно определить плотность распределения.

Решение. Плотность распределения определим из свойства плотности распределения: .

Числовые характеристики СВ

К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М (Х), дисперсия D (Х), среднее квадратическое отклонение s(Х), начальные и центральные моменты и др.

 

Математическое ожидание и его свойства

Дискретная СВ принимает значения с вероятностями . Математическим ожиданием СВ называется число М (Х), которое определяется соотношением

 

.

 

Если непрерывная СВ задана плотностью распределения , то математическое ожидание определяется интегралом .

Математическое ожидание характеризует среднее значениеСВ.

Свойства математического ожидания:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если СВ X и Y независимы.

 

Дисперсия и ее свойства

Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание СВ Х^k.

Для дискретных случайных величин

.

Для непрерывных случайных величин

.

Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожидание СВ .

Для дискретных случайных величин:

.

Для непрерывных случайных величин:

.

Дисперсией называется центральный момент второго порядка:

.

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.

.

 

Свойства дисперсии:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , X, Y – независимые СВ.

Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ:

 

.

Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти М (Х), D (X), s(X).

 

xi
pi	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение.

,

,

 

,

 

.

 

Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

 

 

Требуется вычислить М (Х), D (X), s(X).

Решение.

,

 

,

 

,

 

.

Законы распределения СВ

Законы распределения дискретных СВ

СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2,¼, n с вероятностями , называется распределенной по биномиальному закону. Биномиальный закон распределения может быть представлен в виде таблицы:

 

xi				¼	n
pi	q^n			¼	p^n

 

Для биномиального закона .

Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2,¼, n … с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона:

 

.

 

Для закона Пуассона .

Пример 7.1. Производится 3 независимых испытания, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. СВ Х – число появлений события А. Требуется составить закон распределения и вычислить числовые характеристики.

Решение. СВ Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и распределена по биномиальному закону. Определим вероятности:

 

,

 

,

 

,

 

,

 

.

Закон распределения имеет вид:

 

xi
pi	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

 

,

 

,

 

.

 

Пример 7.2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение. По условию задачи п = 400, р = 0,01, т £ 2, l = 4.