Законы распределения непрерывных СВ

СВ Х называется равномерно распределенной на отрезке [ a; b ], если плотность распределения СВ на этом отрезке постоянна и равна , а вне отрезка – равна 0.

 

 

Для СВ, распределенной по равномерному закону, справедливы следующие соотношения:

 

Непрерывная СВ Х, принимающая значения с плотностью распределения

 

называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром . Для СВ, распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения:

 

 

 

.

 

СВ Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

 

, ,

 

где а и s – параметры распределения.

Для нормально распределенной СВ справедливы следующие соотношения:

 

Вероятность попадания нормально распределенной СВ на отрезок вычисляется по формуле:

 

.

 

Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

.

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности наступления события р в серии из n независимых испытаний выражается формулой:

 

.

 

Пример 7.3. Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение. Случайная величина Х – время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

 

 

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

.

 

Пример 7.4. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием – 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 100 ч. Следовательно, . Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

 

 

Функция распределения СВ Т

 

 

определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью t. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна

.

 

Функцию R (t) называют функцией надежности. Для нашего случая

.

 

Пример 7.5. Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную СВ со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение. Так как ,

то

Математическая статистика