Пересечение (произведение) событий.

Пересечением или произведением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А и происходит событие В вместе.

1)

 

2) производится 2 выстрела по мишени

- попадание при первом выстреле

- попадание при втором выстреле

- попадание при обоих выстрелах

Пересечением n событий называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходит каждое из этих событий: .

Опыт: 3 выстрела

- промах при i -м выстреле (i =1, 2, 3)

- в мишени нет пробоев

4. Объединение (сумма) событий.

Объединение (сумма) обозначается - событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или событие А, или событие В, или оба события сразу.

1)

 

 

2) 2 выстрела по мишени

- попадание при первом выстреле

- попадание при втором выстреле

- попадание или при первом, или при втором выстреле, или оба попадания

Объединением (суммой) n событий называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий .

Опыт: 5 выстрелов по мишени

- i попаданий в мишень в результате всех пяти выстрелов (i =0, 1, 2, 3, 4, 5)

- не более трёх попаданий

- не менее четырёх попаданий

Несовместные события.

Событие А и событие В называются несовместными, если их пересечение есть несовместное событие:

и - несовместные

 

 

составляют группу попарно несовместных событий, если .

Пример:

Бросается игральный кубик.

Рассмотрим события:

А₁ – число очков делится на 3

А₂ – число очков делится на 5

А₃ – число очков делится на 2

Не являются группой попарно несовместных событий, т.к.

Полная группа событий.

Говорят, что события составляют полную группу событий, если:

1) Они попарно несовместны: .

2) Их объединение – есть событие достоверное:

Опыт: 2 выстрела по мишени

А₁ – хотя бы одно попадание

А₂ - хотя бы один промах

е – количество дырок в мишени

Опыт: бросание двух монет

А₁ – появление двух гербов

А₂ – появление двух цифр

е – появление герба или цифры

 

§5. Аксиомы теории вероятностей.

 

Поле событий.

Пусть введено некоторое пространство элементарных событий Е, некоторое подмножество А из Е мы называем событием. Среди множества всех подмножеств пространства Е выделим такой класс К подмножеств пространства, который обладает следующими свойствами:

1) класс К в качестве элементов содержит достоверное и невозможное событие:

2) если

3) если события (в конечном или счётном числе) принадлежат классу К, то их объединение или пересечение в конечном или счётном числе также принадлежит классу К.

Такой класс К подмножеств пространства Е называется аддитивным классом.

Аддитивный класс К подмножеств А из Е мы будем называть полем событий.

Пример.

1) опыт: бросается игральный кубик

- дискретное пространство элементарных событий.

В этом случае под событием мы понимаем любое подмножество пространства Е. Поэтому поле событий К в случае дискретного пространства Е есть множество всех подмножеств пространства Е.

Все эти события составляют поле событий.

1. .

2.

3.

2) точка случайным образом брошена на отрезок [0;1] и наблюдается 2 события:

А₁ – попадание точки в промежуток [0;½)

A₂ – попадание точки в промежуток [½;1]

Под событием понимаем то, что имеет длину.

1.

2.

3.

Аксиомы.

Пусть задано пространство элементарных событий Е и поле событий К на этом пространстве. Числовая функция Р (А), называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1) ставится в соответствие неотрицательное число

2) вероятность достоверного события является единицей, Р (Е)=1

3) аксиома сложения вероятностей: если - попарно несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей ()

Вероятностное пространство.

Говорят, что имеется вероятностная (математическая) модель случайного опыта, если построены:

1) пространство элементарных событий Е

2) поле событий К

3) распределение вероятностей на поле событий К, т.е. для каждого события А из поля событий К задана вероятность Р (А)

Тройка объектов (Е, К, Р) называется вероятностным пространством (моделью) данного случайного опыта.

Если Е – дискретное, то (Е, К, Р) называется дискретным.

Если Е – непрерывное, то (Е, К, Р) называется непрерывным.

 

§6. Классическая вероятностная модель.

 

Вероятностная модель называется классической, если выполнены следующие 2 условия:

1) пространство элементарных событий – дискретное конечное, состоит из n элементарных событий Е ={ e₁, e₂, …, e_n }

2) - вероятности всех элементарных событий равны

Вероятностное пространство определяется так:

для заданного пространства Е поле событий К - есть множество всех подмножеств из Е, а вероятности Р (А) для любого события А из К выражаются через вероятности элементарных событий.

Пусть

По аксиоме 3:

 

§7. Геометрические вероятности.

 

Классическая модель: дискретная вероятностная модель

Геометрическая модель: непрерывная вероятностная модель

(Е, К, Р)

Е – непрерывное пространство, множество точек области на плоскости

К ={ A }

А из Е: А – длина; А – площадь; А – объём

;

;

.

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

Наудачу бросается точка, наблюдается событие: попадание точки в область А. «Наудачу» означает: вероятность события А зависит от площади А, не зависит от её формы и положения Е.

 

§8. Теорема о сложении вероятностей.

 

(Не путать с аксиомой о сложении вероятностей).

Теорема. Задано вероятностное пространство (Е, К, Р), есть события А, В Е.

 

По аксиоме 3:

Вычитая из 1-го равенства 2-е получим ч.т.д.

Замечание: из аксиомы 3 следует, что если события составляют полную группу,

и - полная группа

 

§9. Условные вероятности.

 

Пример.

Три раза бросается монета. Результат: цифра или герб.

n =8

A – герб выпал один раз;

Пусть в результате опыта произошло событие В. Число выпавших гербов – нечётно.

Тогда, если В произошло, .

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть некоторому случайному опыту соответствует классическая вероятностная модель.

, n элементарных событий

 

 

r элементарных событий входит и в А и в В.

Найдём вероятность события А при условии, что произошло В. Если В произошло, то его вероятность равна 1, то .

Событие А происходит, если происходит элементарное событие, принадлежащее пересечению, их всего r.

Определение: пусть задано вероятностное пространство (Е, К, Р); А, В – события. Если , то условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение