Теория вероятностей и элементы математической статистики

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

 

Институты: все.

Укрупненные группы специальностей и направлений подготовки:

080000 –Экономика и управление

140000 – Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника

150000 – Металлургия, машиностроение и материалообработка

190000 – Транспортные средства

200000 – Приборостроение и оптотехника

210000 – Электронная техника, радиотехника и связь

220000 – Автоматика и управление

230100 – Информатика и вычислительная техника

240000 – Химическая и биотехнологии.

Направления подготовки высшего профессионального образования:

261000 – Технология художественной обработки материалов

280200 – Защита окружающей среды

Санкт-Петербург

Издательство СЗТУ

УДК 519.2.06(07)

 

Математика. Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики: учебно-методический комплекс / сост. В.С. Ходоровская. - СПб.: Изд - во CЗТУ, 2008. – с.

 

Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования.

Дисциплина предусматривает изучение понятий и варианты расчета вероятностей случайных событий, случайных величин и их характеристик, рассматриваются элементы математической статистики и варианты проверки различных гипотез, выдвигаемых при работе со случайными величинами. Приводятся теоретические основы и разбираются варианты решения задач, формулируются тестовые вопросы к рассматриваемым темам.

Рассмотрено на заседании кафедры информатики и прикладной математики 22 декабря 2008 г., одобрено методической комиссией факультета общепрофессиональной подготовки 22 декабря 2008 г.

 

 

Рецензенты:	кафедра информатики и прикладной математики СЗТУ (зав. кафедрой Г.Г.Ткаченко, канд. физ.-мат. наук, доцент); Л.В.Боброва, к.т.н., проф. кафедры информатики и прикладной математики СЗТУ.
Составители:	В.С. Ходоровская, доц. Т.Д. Бессонова, доц. Г.Г. Ткаченко, к.ф.-мат. н., доц. М.Б.Шабаева, к.ф.-мат.н., доц.

 

ã Северо-Западный государственный заочный технический университет, 200 9

ã Ходоровская В.С., Бессонова Т.Д., Ткаченко Г.Г., Шабаева М.Б., 2009

1. Информация о дисциплине

Содержание курса «Теория вероятностей и элементы математической статистики» определяется государственным стандартом, рабочей программой и тематическим планом.

Данная дисциплина изучается студентами на 2-м или 3 курсе в течение семестра. Программа курса включает изучение трех основных теоретических разделов: 1) случайные события; частота и вероятность; основные формулы для вычисления вероятностей, 2) случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин; нормальный закон распределении, 3) элементы математической статистики, генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция и регрессия, содержание которых представлено в виде структурно-логической схемы на рис. 2.1. Кроме того, включен раздел с указаниями по выполнению лабораторных работ и раздел с методическими указаниями по выполнению контрольной работы.

Изучение курса заканчивается выполнением контрольной работы, ответом на вопросы тестов и сдачей экзамена.

1.1. Предисловие

Учебно-методический комплекс Математика ч.2 “Теория вероятностей и элементы математической статистики” предназначен для всех форм обучения студентов всех специальностей подготовки высшего профессионального образования. Программой курса предусматривается изучение случайных событий и случайных величин, приводятся формулы, позволяющие производить расчет вероятностей различных случайных событий, находить характеристики случайных величин и определять их законы распределения, рассматриваются элементы математической статистики.

Данная дисциплина изучается студентами в течение одного семестра.

Рабочая программа включает изучение разделов по темам: «Случайные события», “ Случайные величины“, “Элементы математической статистики“.

План практических занятий предусматривает изучение тем:

1. Случайные события, частота и вероятность. Классическое определение вероятности. Условные вероятности.

2. Основные формулы для вычисления вероятностей: схема Бернулли, полной вероятности и Байеса.

3. Случайные величины. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин.

В план выполнения лабораторных работ входят темы:

1. Генеральная совокупность и выборка. Обработка выборочных данных. Точечные и интервальные оценки параметров. Построение гистограмм.

2. Моделирование дискретных случайных величин методом жребия.

3. Проверка гипотез по критерию Пирсона. Корреляция и регрессия.

Контроль знаний студента осуществляется по результатам выполнения контрольной работы, тестирования и заканчивается сдачей экзамена.

Целью изучения дисциплины является приобретение знаний и навыков решения задач, связанных с расчетом вероятностей и числовых характеристик случайных величин и случайных событий.

Задачи изучения дисциплины -правильное понимание основных положений и формул для расчета вероятностей различных событий.

Иметь представление о свойствах вероятности.

Знать основные определения и формулы для расчета.

Уметь правильно использовать расчетную формулу для конкретно решаемой задачи.

Владеть методикой расчета определения вероятности правильной работы прибора или устройства.

Место дисциплины. Математика ч. 2 - в учебном процессе тесно связана с курсом Математика ч. 1, курсом Информатика и является базовой основой для различных курсов, в которых необходимо производить обработку статистических данных и делать оценки величин при выполнении дипломных проектов.

 

1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы

Теория вероятностей и математическая статистика: случайные события, частота и вероятность, основные формулы для вычисления вероятностей; случайные величины, числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин, нормальный закон распределении; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция и регрессия.

Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов
форма обучения
Очная	очно-заочная	заочная
Общая трудоемкость дисциплины (ОТД)
Работа под руководством преподавателя (включая ДОТ)
В том числе аудиторные занятия: лекции практические занятия (ПЗ) лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студента (СР)
Промежуточный контроль, количество
В том числе: курсовой проект (работа)	-	-	-
контрольная работа	-
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)	Экзамен

Перечень видов практических занятий и контроля:

- тест (общий по дисциплине);

- одна контрольная работа (для очно-заочной и заочной форм обучения);

- практические занятия – 4 часа (для очной и заочной форм обучения),

- 8 часов (для очно-заочной формы обучения);

-лабораторные работы – 20 часов (для очной формы), 12 часов (для очно-заочной) и 10 часов (для заочной формы обучения);

- экзамен.

 

Рабочие учебные материалы

2.1. Рабочая программа (объем 150 часов)

Введение

[1], с. 5; [2], с. 3-5

Теория вероятностей и математическая статистика – неразрывно связанные науки, изучающие закономерности случайных явлений. Математическая статистика – наука, которая разрабатывает методы обработки и анализа результатов наблюдений и опытов на основе теоретико-вероятностных понятий и методов для того, чтобы получить некоторые научные и практические выводы. Необходимость обрабатывать большие объемы опытных и статистических данных возникает в технике, экономике, медицине, финансах и т.д. Появляются задачи, для решения которых требуются вероятностно-статистические методы. К таким задачам можно отнести, например, задачи упорядочения результатов измерения, выборочного контроля качества, исследование надежности работы сложных систем.

Предметом изучения теории вероятностей служат случайные события и случайные величины, над которыми производятся многократные наблюдения, в результате чего делаются выводы и обобщения о числовых характеристиках, определяется закон распределения. Статистика достаточно древняя наука. Математической наукой она признана после того, как стала строиться на базе теории вероятностей. Одна из главных задач статистических методов заключается в рассмотрении выборки из генеральной совокупности, по которой производится оценка параметров, коэффициентов корреляции и регрессии.

Раздел 1. Случайные события (50 часов)

1.1. Понятие случайного события (10 часов)

[1], с. 6…13

Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Аксиомы вероятностей и следствия из них.

 

1.2. Вероятности случайных событий (10 часов)

[1], с. 14…22

Частота и вероятность события и свойства. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Вероятность суммы событий.

1.3. Основные формулы для вычисления вероятностей. (30 часов).

[1], с. 23…31

Независимость событий. Проведение независимых испытаний по схеме Бернулли. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

 

Раздел 2. Случайные величины (60 часов)

2.1. Описание случайных величин (20 часов)

[1], с. 32…41

Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения и функция распределения случайной величины. Плотность вероятности случайной величины. Свойства функции распределения и плотности вероятности.

2.2. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин

(40 часов) [1], с. 59…83

Вычисление математического ожидания и дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин. Законы распределения: биномиальный, пуассоновский, закон равномерной плотности, нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Раздел 3. Элементы математической статистики (40 часов)

3.1. Основные определения (6 час)

[2], с. 6…15

Генеральная совокупность и выборка. Оценка параметров. Получение экспериментальных характеристик случайной величины. Понятие статистической гипотезы.

3.2. Систематизация выборки (14часов)

[2], с.16…29

Вариационный ряд, статистическая вероятность события. Эмпирическая функция распределения, гистограмма частот. Получение опытных значений математического ожидания и дисперсии случайной величины.

 

3.3. Точечные оценки параметров распределения (10 час).

[2], с. 24…32

Смещенная, несмещенная, состоятельная оценки параметров. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

 

3.4. Интервальные оценки (10 часов)

[3], гл.16, с.126…138

Доверительная вероятность, доверительный интервал, построение интервальных оценок, корреляция и регрессия. Основные статистические законы распределения.

 

Заключение.

В результате изучения указанных материалов студент может выполнить задания, включенные в контрольную работу, ответить на вопросы проверочных тестов и сдать экзамен по данному курсу.

 

2.2. Тематический план занятий

Тематический план дисциплины

для студентов очной формы обучения

№ п/п

Наименова-ние раздела, (отдельной темы)

Кол-во часов по дневной форме обучения

Виды занятий и контроля

лекции

ПЗ (С)

ЛР

Самостоятель­ная работа

Тесты

Контрольные работы

Лаб.работы

Курсовые Курс.работы (проекты)

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

ВСЕГО

Случайные события

№

1.1

Понятие случайного события

1.2

Вероятности случайных событий

1.3

Основные формулы для вычисле- ния вероят- ностей

За- да-ча 1

Случайные величины

№

№

2.1

Описание случайных величин

2.2

Числовые характерис-тики случай- ных величин

За- да-ча 2

Элементы математической статистики

За- да-чи 3,4

№

3.1

Основные определения

3.2

Систематизация выборки

3.3

Точечные оценки пара-метров расп-ределения

3.4

Интерваль-ные оценки

Тематический план дисциплины

для студентов очно-заочной формы обучения

 

№ п/п

Наименование раздела, (темы)

Кол-во часов по дневной форме обучения

Виды занятий и контроля

лекции

ПЗ (С)

ЛР

Самостоятель­ная работа

Тесты

Контрольные работы

Лаб.работы

Курсовые Курс.работы (проекты)

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

ВСЕГО

Случайные события

№1

1.1

Понятие случайного события

1.2

Вероятности случайных событий

1.3

Основные формулы для вычисления вероятностей

задача 1

Случайные величины

№2

№

2.1

Описание случайных величин

2.2

Числовые характеристи-ки случайных величин

задача2

Элементы математичес-кой статистики

За дачи 3,4

№

3.1

Основные определения

3.2

Систематизация выборки

3.3

Точечные оценки пара-метров расп-ределения

3.4

Интерваль-ные оценки

Тематический план дисциплины

для студентов заочной формы обучения

 

№ п/п

Наименование раздела, (отдельной темы)

Кол-во часов по дневной форме обучения

Виды занятий и контроля

лекции

ПЗ (С)

ЛР

Самостоятель­ная работа

Тесты

Контрольные работы

Лаб.работы

Курсовые Курс.работы (проекты)

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

аудит.

ДОТ

ВСЕГО

Случайные события

№1

1.1

Понятие случайного события

1.2

Вероятности случайных событий

1.3

Основные формулы для вычисления вероятностей

задача 1

Случайные величины

№2

№1

2.1

Описание случайных величин

2.2

Числовые характеристи-ки случайных величин

задача2

Элементы математичес-кой статисти ки

задачи3,4

№

3.1

Основные определения

3.2

Систематизация выборки

3.3

Точечные оценки пара-метров расп-ределения

3.4

Интерваль-ные оценки

 

 

 

2.3. Структурно-логическая схема дисциплины

 

 

 

Рис. 2.1

 

 

Рис. 2.1

 

2.4. Временной график изучения дисциплины

 

(для студентов заочной формы обучения с использованием ДОТ)

 

№	Название раздела (темы)	Продолжительность изучения раздела (темы) в днях (из расчета – 4 часа в день)
	Раздел 1. Случайные события	15 дн.
	Раздел 2. Случайные величины	12 дн.
	Раздел 3. Элементы математической статистики	10,5 дн.
Итого:		37,5 дн

 

 

2.5. Практический блок

 

Практические занятия (очно-заочная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)	Наименование практических занятий	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 1	Случайные события
Раздел 2	Случайные величины
Раздел 3	Элементы математической статистики

 

Практические занятия (заочная формы обучения)

Номер и название раздела (темы)	Наименование практических занятий	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 1	Случайные события
Раздел 2	Случайные величины	-
Раздел 3	Элементы математической статистики	-

 

Практические занятия (очная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)	Наименование практических занятий	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 1	Случайные события
Раздел 2	Случайные величины
Раздел 3	Элементы математической статистики	-

 

 

Лабораторные работы (очно-заочная форма обучения)

 

Номер и название раздела (темы)	Наименование лабораторной работы	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 2	Работа 1. Описание случайных величин. Числовые характеристики.
Раздел 3	Работа 2. Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки.	2	-

 

Лабораторные работы (очная форма обучения)

 

Номер и название раздела (темы)	Наименование лабораторной работы	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 2	Работа 1. Описание случайных величин. Числовые характеристики.
Раздел 3	Работа 2. Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки.

Лабораторные работы (заочная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)	Наименование лабораторной работы	Кол-во часов Ауд. ДОТ
Раздел 2	Работа 1. Описание случайных величин. Числовые характеристики.
Раздел 3	Работа 2. Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки.

 

Балльно-рейтинговая система

Изучение дисциплины проводится в течение одного семестра, и состоит из усвоения 3-х теоретических разделов, выполнения 2-х лабораторных работ на ПК и одной контрольной работы.

В каждом разделе приводятся вопросы тестов текущего контроля, ответы на которые не оцениваются, но являются репетицией сдачи контрольных тестов, для подготовки к которым предлагается пройти тренировочный тест, по репетиционным вопросам, приводимым в блоке 6.

За каждый вид самостоятельной работы начисляется определенное число баллов:

- за правильный ответ на вопрос тренировочного теста – 2 балла;

- за правильно выполненную лабораторную работу – 10 баллов;

- за правильно выполненную контрольную работу – 26 баллов.

При успешной работе студент может получить максимум 100 баллов. Для получения допуска к экзамену нужно набрать более двух третей от этой суммы (т.е. не менее 67 баллов).

 

3. Информационные ресурсы дисциплины

Библиографический список

Основной:

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Academia, 2003.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2004.

3. Ткаченко, Г.Г. Теория вероятностей: учебное пособие / Г.Г.Ткаченко. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2005.

4. Шабаева, М.Б. Вычислительная математика. Элементы математической статистики / М.Б. Шабаева. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2004.

Дополнительный:

5. Чистяков, В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков, - СПб.: Лань, 2003.

6. Вентцель, Е.С. Теория вероятностейи ее инженерные приложения /

Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Наука, 1988.

7. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 1979.

 

 

 

3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика ч.2.

Теория вероятностей и элементы математической статистики”

ВВЕДЕНИЕ

 

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайные явления – это такие явления, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта с соблюдением некоторого комплекса условий протекают по-разному, что ведет к различным результатам опыта. Примеры случайных явлений можно наблюдать во многих областях науки и техники.

Теория вероятностей основывается на построении математических моделей случайных явлений, изучении свойств моделей и применяется в задачах, которые требуют определения и расчета вероятностей отдельных испытаний или серии опытов, а также для определения надежности или устойчивости работы устройств, приборов или систем обслуживания.

Настоящий «Опорный конспект» содержит теоретические основы дисциплины Математика ч. 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики, состоит из 3-х разделов, включает варианты решения различных задач, прилагаются вопросы для самопроверки и тестовые вопросы.

 

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

 

Данный раздел курса Теория вероятностей и элементы математической статистики содержит краткое изложение теоретического материала для изучения понятия случайного события, классификации событий.

Кроме того, приводится классическое и геометрическое определение вероятности, сформулированы аксиомы о вероятностях и следствия из них. Рассматриваются несовместные и независимые события и приводятся формулы, по которым можно вычислить вероятность суммы и произведения различных событий, а также формула для вычисления вероятности по схеме Бернулли, формула полной вероятности и формула Байеса.

Каждое понятие или приводимая формула обязательно поясняется примером, решение которого позволяет увидеть, в каких случаях следует использовать конкретную формулу, что в большой степени определяется формулировкой поставленной задачи.

Изучив материал раздела, студент может проверить свои знания по вопросам для самопроверки, которые даются в конце каждой темы, а также разобрать репетиционный тест № 1, приведенный в Блоке контроля освоения дисциплины. После того, как эта часть работы проделана, студент может приступить к выполнению задачи № 1 из методических указаний по выполнению контрольной работы по вычислительной математике, основам теории вероятностей и элементам математической статистики [ 8 ].

Понятие случайного события

Сведения из теории множеств

Понятие множества относится к фундаментальным понятиям математики. Под множеством понимают некоторую совокупность объектов, называемых элементами множества. Для задания множества можно или перечислить все элементы, в него входящие, или определить свойства, которыми они обладают. Множества обозначают прописными буквами A, B, …, а их элементы – строчными буквами a, b, … и заключают в фигурные скобки.

Пример 1.1. Обозначим A - множество положительных целых чисел, меньших 6

A = { 1,2,3,4,5}.

Пример 1.2. Обозначим B – множество всех действительных чисел

B = { x: }.

Пример 1.3. Обозначим C множество всех жителей некоторого города, которые старше 90 лет. Если x обозначает возраст жителя этого города, то все элементы множества C можно определить

C= { x: x> 90}.

Выражение " элемент a принадлежит множеству A " будем символически записывать a A, а запись a A будет означать " элемент a не принадлежит множеству A".

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, в противном случае – бесконечными. В примерах 1.1 и 1.3 определены конечные множества, а примером бесконечного множества является множество из примера 1.2.

Символом Ø будем обозначать множество, не содержащее элементов. Это множество называют пустым множеством. Например, для некоторого города множество C в примере 1. 3 может оказаться пустым.

Множество B называют подмножеством множества A, если все элементы B принадлежат множеству A, и символически записывают или .