Дискретные случайные величины

Определение. Случайную величину x называют дискретной, если множество ее возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т.е. конечно или счетно.

Пусть возможные значения дискретной случайной величины xупорядочены по возрастанию

x ₁ ≤ x ₂ ≤¼≤ x _n ≤¼..

Рассмотрим события A_i, содержащие все элементарные события w, приводящие к значению x_i:

A _i= {w: x = x _i }, i= 1, 2, ¼

Пусть p_i обозначает вероятность события A_i:

p_i = R (A_i) =R (w: x = x_i ), i= 1, 2, ¼.

События A_i - несовместные события, которые составляют разбиение пространства элементарных событий Ω, т.е. Ω = A_i.

Тогда для вероятностей p_i выполняются свойства

p _i ³ 0, i= 1, 2, ¼ = 1. (2.2)

Закон распределения дискретной случайной величинызадается рядом распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины x может быть представлен таблицей, в первой строке которой помещают возможные значения x_i, а во второй - вероятности p_i, соответствующие этим значениям.

x	x 1	x 2	… xn …
p i	p 1	p 2	… pn …

 

Кроме ряда распределения, дискретная случайная величина может быть задана с помощью функции распределения.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины x это такая функция переменной x, которая равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем заданное x,

F (x) =P (w: ¦ (w) £ x) (2.3)

для всех действительных чисел x.

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется как сумма вероятностей для тех значений случайной величины, которые меньше заданного x. Обозначим через В (x) множество возможных значений случайной величины x, предшествующих числу x:

B (x) = { x_i: x_i £ x }. (2.4)

Тогда формулу(2.3) можно записать в виде

F (x) = . (2.5)

Приведем несколько примеров функций распределения дискретных случайных величин.

Пример 2.3. Правильный кубик подбрасывают один раз, и величина x обозначает число очков, выпавшее на его верхней грани. Построим функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Обозначим через X возможные значения случайной величины x. В данном примере X ={1,2,3,4,5,6}, и вероятность появления грани с любым количеством очков равна р_i = .

Напишем ряд распределения этой дискретной случайной величины.

х			3
р

 

Построим функцию распределения по формуле (2.5). Для этого на числовой оси отметим точки из множества X. Они разбивают числовую ось O x на интервалы (-∞,1), [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,+ ∞).

Последовательно будем вычислять функцию распределения на каждом из указанных выше интервалов. При любом множество B (x)={ x_i: x_i £ x } не содержит возможных значений случайной величины, т.е. является пустым множеством. Тогда по формуле (2.5)

F(x)= 0.

При любом множество будет состоять из одного значения - 1:

В(x)={ x_i: x_i £ x }={1}. Тогда по формуле (2.5)

F(x)= p₁ = .

При любом множество B (x)={ x_i: x_i £ x }={1,2}. Тогда по формуле

F (x) = p₁+ p₂= .

При любом множество B (x) = { x_i: x_i £ x }={1,2,3}. Тогда

F (x) = p₁+ p₂+ p₃= .

При любом множество B (x)={ x_i: x_i £ x }={1,2,3,4}. Тогда

F (x) = p₁+ p₂+ p₃+ p₄= .

При любом множество B (x)={ x_i: x_i £ x }={1,2,3,4,5}.Тогда

F (x) = p₁+ p₂+ p₃+ p₄+ p₅= .

При любом множество B (x)={ x_i: x_i £ x }={1,2,3,4,5,6} = X. Тогда

F (x) = p₁+ p₂+ p₃+ p₄+ p₅+ p₆= 1.

Заметим, что при переходе от одного интервала к другому множество B (x) расширяется на одно значение и от пустого множества переходит к множеству всех возможных значений X ={1,2,3,4,5,6}.

Все вычисления можно объединить в формулу

. (2.6)

Пример 2.4. Построим функцию распределения для появления числа гербов при трех подбрасываниях монеты (пример 2.1).

Решение. Ряд распределения был найден в примере 2.1.

ξ

 

Обозначим через X множество всех возможных значений этой случайной величины X = { 0, 1, 2, 3 }. Заметим, что множество B (x) при любом x является подмножеством X. Числа из множества X разбивают числовую ось на интервалы (-¥,0), [0,1), [1,2), [2,3), [3,+¥).

Пусть x любое число из интервала (-¥, 0). Тогда множество B (x) не содержит значений случайной величины x, т.е. B (x) = Ø, следовательно, F (x)=0 при всех x из (-¥,0).

Возьмем любое x Î[0,1). Множество B (x) содержит значение 0:

B (x) ={0} и F (x) = p ₀ = .

Возьмем x Î[1,2). Множество B (x) ={0,1}, и F (x) = p ₀+ p ₁= .

Для всех x Î[2,3) множество B (x) ={0,1,2}, и F (x)= p ₀+ p ₁+ p ₂= .

Для всех x Î[3,¥) множество B (x)={0,1,2,3}= X. Отсюда следует

F (x) = p ₀+ p ₁+ p ₂+ p ₃= .

Запишем полученные значения функции распределения на отдельных интервалах в виде формулы

.

 

 

Построим график функции распределения F (x) дискретной случайной

величины

F(x)

 

0 1 2 3 x