Сумма и произведение событий

Определение. Суммой (объединением) событий A и B называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначается A+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).

Например, для событий примера 1.6 суммой событий A и C будет событие A+C = {w₁ , w₂ , w₃ , w₄ , w₆}, а суммой событий A и B будет событие A+B = {w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆} = W, т. е. достоверное событие.

Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.

Определение. Суммой (объединением) последовательности событий A ₁, A ₂, … A_n,.. называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из событий последовательности и обозначается .

Пусть событие A состоит из благоприятствующих исходов .

Тогда событие A по определению суммы можно представить в виде

.

Определение. Произведением событий A и B называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначается AB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).

Например, для событий примера 1.6 произведением событий A и C будет событие AC = {w₁, w₃}, а произведением событий A и B будет невозможное событие AB =Æ.

 

Определение.Произведением последовательности событий A₁,A₂,…A_n,.. называется событие, которое происходит при одновременном наступлении всех событий последовательности и обозначается .

Определение. Разность событий A и B происходит, когда событие A наступает, а событие B - не наступает, и обозначается A-B.

Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства

1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+ (B+C) = (A+B) +C

4) A (B+C) =AB+AC 5) A+Æ=A 6) AÆ=Æ

7) A W =A 8) A+A=A 9) AA=A

10) A+ W = W 11) A W =A 12) A+ = W

13) A =Æ 14) =A 15) =Æ 16) = W.

Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие Æ можно считать как 0, а достоверное событие W – как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.

Для событий А и В справедливы формулы, называемые соотношениями двойственности:

.

Определение. Класс событий U образует алгебру событий, если

1) достоверное событие содержится в этом классе,т.е. W Î U

2) для любых событий AÎ U,BÎ U из этого классаих сумма и произведение также принадлежат этому классу: ABÎ U, A+BÎ U,

3) если событие A из этого класса AÎ U, то и противоположное событие также принадлежит этому классу: А Î U.

Пример 1.7. Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий Wсостоит из четырех элементов

W = { ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.

Здесь Г означает, что монета выпала гербом вверх, а Ц – цифрой вверх.

Построим все подмножества пространства элементарных событий W:

Æ, ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ }, { ГГ, ЦЦ }, { ГЦ, ЦГ }

{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, { ГГ, ГЦ, ЦГ }, { ГГ, ГЦ, ЦЦ }, { ГГ, ЦГ, ЦЦ },

{ ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, { ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ } = W.

Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.

Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.

Определение. Алгебра событий U образует s-алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий A_i из s-алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат s-алгебре

Î U, Î U.

Если задано пространство элементарных событий W и s-алгебра событий U, то говорят, что задано измеримое пространство {W, U }.

В случае произвольного пространства элементарных событий W, событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий W, которые образуют s-алгебру событий U. Все остальные подмножества W, не входящие в s-алгебру событий U, событиями не являются.

Вопросы для самопроверки

1. При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?

2. Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?

3. Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).