Емпірична функція розподілу.

Емпіричною функцією розподілу випадкової величини Х називається функція , яка визначає для кожного значення x відносну частоту події Х<x, тобто , де - накопичена частота для тих значень випадкової величини Х, що менші за деяке дійсне число x,n- обсяг вибірки.

Основні властивості емпіричної функції розподілу

1. 0

2. Функція неспадна

3. для х

4. =1, для x>

 

 

Точкова оцінка математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини.

За точкову оцінку М* математичного сподівання а=М(Х) генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє тобто

Точкова оцінка математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини.

Статистична оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом називається точковою. Точковою оцінкою невідомого параметра Θ генеральної сукупності називають однозначно визначену функцію Θ* = Θ*(х1, х2,...хп) на основі вибірки, за допомогою якої знаходять наближене значення параметра Θ.

За точкову оцінку М* математичного сподівання а=М* генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє, тобто

М^*= х_в = n_ix_i

 

Поняття точкової оцінки параметра розподілу випадкової величини та її незміщеність, змістовність і ефективність. Зв'язок точкових оцінок параметрів розподілу випадкової величини з її числовими характеристиками.

Точкова оцінка параметра – це статистична оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом.

1)Оцінка параметра називається незміщеною, якщо за будь-якого обсягу вибірки її математичне сподівання дорівнює параметру, який оцінюється, тобто .В іншому випадку оцінка називається незміщеною.

2)Оцінка параметра 𝛩 називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх оцінок, які обчислені за вибірками одного і того ж обсягу n.

3) при розгляді великих за обсягом вибірок додається ще вимога змістовності. Оцінку 𝛩* називається змістовною, якщо при n→∞ вона прямує за ймовірністю до оцінюваного параметра 𝛩, тоюто виконується рівність

Якщо при n→∞ дисперсія незміщеної точкової оцінки прямує до нуля, то така оцінка є також змістовною.

За точкову оцінку M* математичного сподівання a=M(X) генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє. За точкову оцінку D* дисперсії D(X) генеральної сукупності вибирають зміщену точкову оцінку дисперсії або незміщену вибіркову дисперсію. Точкова оцінка * середнього квадратичного відхилення обчислюється як середнє квадратичне відхилення

 

 

Точкова оцінка дисперсії і середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини.

За точкову оцінку Д* дисперсії Д(Х) генеральної сукупності вибирають зміщену точкову оцінку дисперсії

D^* = D_в = n_i(x_i – x_в)² = n_i x_i² - x_в²

або незміщену (виправлену) вибіркову дисперсію

D^* = D_в = D_{в =}

Точкова оцінка σ* середнього квадратичного відхилення σ(Х) генеральної сукупності обчислюється за формулою

^{σ * =}

47. Інтервальні оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини у випадках, коли середньоквадратичне відхилення σ відоме і не відоме.

Інтервальною називають оцінку, як визначається двома числами - кінцями інтервалу.

Інтервал (Θ* - δ; Θ* + δ)називається довірчим, якщо він покриває оцінюваний параметр Θ із заданою наперед імовірністю γ.

Нехай середнє квадратичне відхилення σ_r — відоме.

У такому вападку довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання а_r = М(Х) із заданою ймовірністю γ, обчислюється за формулою

Де x_в — вибіркове середнє; n - обсяг вибірки; - значення аргументу функції Лапласа , за якого

= (знаходимо у додатку 2)

Величина

(точність оцінки)

 

Інтервальна оцінка середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини.

О скільки дисперсія і середнє квадратичне відхилення пов’язані співвідношенням , то досить оцінити .

Довірчий інтервал, який покриває σ із заданою надійністю γ, знаходимо за формулами:

< < при <1

або

0< < при >1

Значення за даними n і γ знаходимо у відповідній таблиці.