Задача про статистичну перевірку гіпотези і критерій узгодження.

Статистичною називають гіпотезу про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих уже розподілів.

Статистичні гіпотези поділяються на дві основні групи:

· непараметричні гіпотези — це гіпотези про закони розподілу ймовірностей випадкової величини генеральної сукупності;

· параметричні гіпотези — це гіпотези про значення параметрів законів розподілу ймовірностей випадкової величини генеральної сукупності.

Сформульована гіпотеза, яка піддається перевірці, називається нульовою(основною). Гіпотеза, яка єсуперечить нільовій чи є протилежною до не називається альтернативною (конкуруючою).

Оскільки перевірка основної гіпотези проводиться за даними вибірки статистичними методами, то цю перевірку називають статистичною.

Імовірність допустити помилку першого роду називається рівнем значущості.

Статистичним критерієм гіпотези (або просто критерієм) називають випадкову величину К, за допомогою якої перевіряється основна гіпотеза.

Значення випадкової величини К, яке обчислене на основі певної вибірки, називається емпіричним (або спостережним) значення критерію гіпотези.

Множина значень критерію К, за яких основна гіпотеза відхиляється, називається критичною областю (КО).

Множина значень критерію К, за яких основна гіпотеза приймається, називається областю прийняття гіпотез (ОПГ).

Критерій узгодження Пірсона (критерій)для перевірки гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності.

Критерії, які призначені для перевірки сформульованих гіпотез, називаються критеріями узгодження. Згідно з критерієм Пірсона для перевірки гіпотези вводиться випадкова величина К:

,

Де m- число варіант(чи інтервалів);

- спостережувана частота

- теоретична частота

- імовірність того, що значення випадкової величини Х належить до і-тої групи.

Перевірка гіпотез про вигляд математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини у випадку коли дисперсія відома.

Коли дисперсія генеральної сукупності Д_r(Х) відома. Допускається, що відомі п,а₁,а.

Правило 1. Якщо Н₀:а = а₀, а Н₁: а а₀, то перевірка гіпотези здійснюється за правилом:

1. Обчислюється х_в.

2. Обчислюється емпіричне значення критерію за формулою

 

3.За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходять критичну точку k_kp двосторонньої критичної області з рівності

3. Робиться висновок:

Правило 2. Якщо Н₀:а = а₀, а H₁: а > а₀, то перевірка гіпотези здійснюється подібно до правила 1 із змінами:

1. Визначають критичну точку k_п.кр правосторонньої критичної області, користуючись при цьому) рівністю

2. Робиться висновок:

·

·

Правило 3. Якщо Н₀:а = а₀, а II, \ а < а₀, то перевірка гіпотези здійснюється подібно до попереднього правила 2 із змінами у висновку, ураховуючи, що критична точка лівостороння, тобто що к_{л кр} - -к_пІкр:

Перевірка гіпотез про вигляд математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини у випадку коли дисперсія невідома.

Дисперсія генеральної сукупності невідома. Допускається, що відомі п, а₀, а.

Правило 1. Якщо Н₀: а = а₀, а Н₁: а а₀, то перевірка гіпотези здійснюється за правилом:

1. Обчислюється х_в.

2. Обчислюється виправлена вибіркова дисперсія D_в.

3. Обчислюється емпіричне значення критерію Стьюдента за фор­мулою

 

4. За таблицею критичних точок Стьюдента за даними , зосе­редженому у верхньому рядку таблиці, і числом ступенів вільності к = п-1 знаходять критичну точку двосто­ронньої критичної області.

5. Робиться висновок:

Правило 2. Якщо Н₀: а = а₀, а Н₁: а > а, то перевірка гіпотези здій­снюється подібно до правила 1 для цього випадку з певними змінами:

6. За таблицею критичних точок Стьюдента за даними , зосереджениму в нижньому рядку таблиці, і числом ступенів вільності к = п -1 знаходять критичну точку правосторонньої критичної області.

7. Робиться висновок:

Правило 3. Якщо Н₀:а = а₀, Н₁: а < а₀, то перевірка гіпотези здійснюється подібно до попереднього правила 2 із змінами у висновку, враховуючи, що критична точка -лівостороння, тобто що :