Визначення відносної частоти події і статистичної ймовірності. Спільність і різниця між класичною ймовірністю і відносною частотою події.

Відносна частота події А називається числа експериментів, у яких подія А відбулась, до числа усіх експериментів:

Статистичною ймовірністю події А називається число Р(Ф), навколо якого коливається відносна частота появи цієї події в довгих серіях експериментів.

 

Геометричне визначення ймовірності та її обчислення.

Геометричним означенням користуються коли число наслідків нескінченне, але наслідки рівно можливі.

Наприклад, точку, кидаємо в область G і треба оцінити можливість попасти в область g.

Отже, імовірність події А називається відношення міри g до G, тобто

P (A)= mes g/mes G

Mes – міра область(довжина,площа_

g – частина області G

 

Поняття сумісних і несумісних подій. Як обчислити ймовірність суми несумісних подій.

Дві події А і В називають несумісними коли їх добуток є неможлива подія. Несумісність подій А і означає, що поява події А виключає можливість появи події В і навпаки.

Сумісними подіями називають такі події, що поява однієї не виключає можливості появи іншої. Ймовірність суми несумісних подій: р (А+В)=Р(А)+Р(В)

 

Повна група подій. Ймовірність протилежної події.

Події А1, А2,……..Аи утворюють повну групу, якщо в результаті виконання експкрименту принаймні одна з цих подій обов’язково відбудеться.

Протилежною подією до події а називається подія, що складається з усіх елементів які не входять до події А.

Отже,подія протилежна відбудеться тоді і тільки тоді, коли не відбудеться п.А.

 

Умовна ймовірність події. Імовірність добутку залежних і незалежних подій.

Умовною ймовірністю події А за умови що подія В відбудеться називають відношення: Р(А/В)=Р(АΩВ)/Р(В).

Імовірність добутку залежних і незалежних подій.

Для залежних: імовірність появи двох випадкових подій довірнює добутку ймовірності однієї з них та умовної ймовірності другої за умови,що відбулась перша.

Для незалежних: імовірність появи двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей.

 

Імовірність суми сумісних подій. Імовірність появи хоча б однієї з декількох подій.

Сумою 2-х сумісних подій називають подію, що складається з появи або події A, або події B, або обох їх одразу (одночасно).

Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи:

 

Формула повної ймовірності.

Якщо Н1, Н2, ……,Ни – повна група попарно несумісних подій і Р(Ні) >0, і=1,2….и, то для будь якої п.А справедлива рівність:

Р(А) =

Формула виражає ймовірність п.А за умови, що відбулась одна і тільки одна з попарно несумісних подій Н1, Н2, ……,Ни.

 

Імовірність гіпотез і формули Байєса.

Нехай набір подій Н1, Н2, ……,Ни утворює повну групу попарно несумісних подій. Тоді для будь якої випадкової події А виконується рівності

Р(Ні/А)=Р(Ні)Р(А/Ні):

Імовірність гіпотез Ні(І= 1,2…и) вказується якою саме умовою відбудеться п. А Щоб визначити ймовірність того, що подія А відбулась і наскільки їй при цьому сприяла гіпотеза Ні, тобто визначити Р(Ні), користуються ф-лою Баєса.

 

Послідовність незалежних випробувань за схемою Бернуллі та умови застосування.

Випробування називаються незалежними стосовно деякої події А, якщо ймовірність цієї події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань.

Серія повторних незалежних випробуванньз одним із можливих результатів а і неА у кодному з яких подя а має одну і ту ж імовірність появи Р (А)=р, називається схемою Бернуллі.

Імовірність Ри(М) тго, що в результаті и незалежних випробуваннь подія А зявиться рівно м разів (М=0,1,2,…и), обчислюється за формулою

 

Локальна теорема Лапласа та умови застосування.

Якщо у схемі Бернуллі кількість незалежних випробувань є велика,то ймовірність появи події А м разів наближено знаходимо за формулою:

 

Інтегральна теорема Лапласа.

Якщо у схемі Бернуллі и є досить великим, то ймовірність появи події А не менша ніж м1 і не більша ніж м2 разів наближено може бути знайдена за формулою:

, де , , а .

 

Формула Пуассона для обчислення ймовірностей в схемі незалежних випробувань Бернуллі та умови застосування.

 

Формула Пуассона. Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань, а n велике, то