Приклади розв’язання типових задач3

Приклади розв’язання типових задач3

Приклад 3

Визначити кількість інтервалів та побудувати інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х: 35, 36, 36, 38, 40, 40, 41, 41, 43, 45, 46, 46, 47, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 55, 57, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 64, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 76, 77, 78.

Розв’язання

Для визначення кількості інтервалів скористуємося формулою Стерджеса:

m = 1 + log ₂ n,де n – обсяг сукупності.Оскільки обсяг сукупності n = 45, то перейдемо від логарифму по основі 2 до десяткового логарифму за формулою:

log_а n = log_b n / log_b a, абоlog₂ n = log₁₀ n / log₁₀ 2, враховуючи, що log₁₀ 2 = 0,3010, маємоlog₂ n = 3,322 log₁₀ n, тоді формула Стерджеса набуває вигляду:m = 1 + 3,322 lg nоді кількість інтервалів: m = 1 + 3,322 × 1,6532 = 6,49 = 6.

Оскільки значення ознаки розташовані більш менш рівномірно, використовуємо принцип рівності інтервалів. Ширину кожного інтервалу обчислюємо за формулою:h = (x_max – x_min): m,

де x_max – максимальне значення ознаки; x_min – мінімальне значення ознаки m – число інтервалів.h = (78 – 35): 6 = 7,2.Тепер визначаємо межі інтервалів:x_{min 1} = x_min = 35.x_{max 1} = x_{min 2} = x_{min 1} + h = 35 + 7,2 = 42,2;x_{max 2} = x_{min 3} = x_{min 2} + h = 42,2 + 7,2 = 49,4;x_{max 3} = x_{min 4} = x_{min 3} + h = 49,4 + 7,2 = 56,6;x_{max 4} = x_{min 5} = x_{min 4} + h = 56,6 + 7,2 = 63,8;x_{max 5} = x_{min 6} = x_{min 5} + h = 63,8 + 7,2 = 71;x_{max 6} = x_{min 6} + h = 71 + 7,2 = 78,2Створюємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо значення ознаки Х у вигляді визначених інтервалів. Підраховуємо кількість ознак, значення яких потрапляє до відповідного інтервалу, і результати наводимо у нижньому рядку. Отримаємо таку таблицю:

Х	35 – 42,2	42,2–49,4	49,4–56,6	56,6–63,8	63,8–71	71–78,2	Разом
f	8	5	9	7	7	9	45

Розподіл значень ознаки Х

Висновок: визначивши кількість інтервалів та побудувавши інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х, ми бачимо, що найбільша кількість одиниць сукупності знаходиться в двох інтервалах (49,4 – 56,6) та (71,0 – 78,2) – по 9 одиниць, а найменша - 5 одиниць - у другому інтервалі (42,2 – 49,4).

ЪПриклад 4

Дані про розподіл робітників двох підприємств за рівнем заробітної платні наведені у таблиці:

1 підприємство	2 підприємство
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 500	15
500 – 700	52	500 – 650	25
700 – 900	64	650 – 800	48
900 – 1100	46	800 – 950	69
1100 – 1300	28	950 – 1100	72
1300 і більше	10	1100 – 1250	45
		1250 і більше	18
Разом	220	Разом	292

Провести перегрупування робітників за рівнем заробітної платні, утворивши такі групи: до 700; 700 – 1000; 1000 – 1300; 1300 і більше. Розв’язання Перегрупування, або вторинне групування, проводиться за припущенням, що в межах одного інтервалу значення ознак розташовано рівномірно. Це припущення дає право ділити частоту інтервалу на частки, пропорційно відрізкам інтервалу.

Так, за умовами вторинного групування слід утворити перший інтервал до 700. Для першого підприємства до новоутвореного інтервалу за даними первинного групування увійде перший інтервал (до 500) та другий інтервал, оскільки 700 становить верхню межу другого інтервалу. Враховуючи припущення, до першого новоутвореного інтервалу ввійде частота першого інтервалу первинного групування та частота другого інтервалу первинного групування.

Таким чином, частота першого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 20 + 52 = 72, ми використовуємо тут метод простого укрупнення інтервалу. Другий інтервал вторинного групування включає повністю третій інтервал (700 – 900) та половину четвертого інтервалу первинного групування, так як його верхня межа становить 1000. Відповідно частота другого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 64 +0, 5 × 46 = 87. Тут використовується метод перегрупування за часткою окремих груп в загальному їх підсумку (пропорційний дольовий перерозподіл).

Аналогічно проводимо розрахунки для решти інтервалів. Розрахунки наведені у відповідних таблицях.

Підприємств

Первинне групування	Вторинне групування
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 700	20 + 52 = 72
500 – 700	52	700 – 1000	64 + 0,5×46 = 64+ 23= = 87
700 – 900	64	1000 – 1300	0,5×46 + 28 = 23+28 = = 51
900 – 1100	46	1300 і більше	10
1100 – 1300	28	×	×
1300 і більше	10	×	×
Разом	220	Разом	220

Підприємство ІІ

 

Первинне групування	Вторинне групування
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	15	До 700	15 + 25+ + =15+ + 25 +16 = 56
500 – 650	25	700 – 1000	(48-16) + 69 + 1/3 × ×72= 32+69+24 = 125
650 – 800	48	1000 – 1300	(72-24) +45+ 1/3 × 18= 48+45+6=81
800 – 950	69	1300 і більше	18 – 6 = 12
950 – 1100	72	×	×
1100 – 1250	45	×	×
1250 і більше	18	×	×
Разом	292	Разом	291

Висновок: якщо за первинними групуваннями для двох підприємств не можна було робити порівняльний аналіз, то за вторинними групуваннями такий аналіз можливий. Наприклад, можна зробити висновок, що на першому підприємстві значно більша кількість робітників, які отримують найнижчий рівень заробітної плати, а от найвищу заробітну плату на обох підприємствах отримує майже однакова кількість робітників.

Тема 5 Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Маємо дані про доходи Зведеного бюджету області, млн. грн., наведені в таблиці. Необхідно визначити показники структури доходної частини бюджету області та оцінити структурні зрушення, що відбулися за цей період. Зробити висновк

Показники	Роки
Доходи, всього
Податкові надходження
Неподаткові надходження
Інші надходження

Розв’язання:

Визначаємо за кожен рік відносні величини структури діленням значень за окремим видом надходжень на їх загальний підсумок. Так, у 2000 році частка податкових надходжень становила 927/1159 = 0,8 або 80,0%; частка неподаткових надходжень - 130/1159 = 0,112 або 11,2%; частка інших надходжень (офіційні трансферти, державні цільові фонди, доходи від операцій з капіталом) – 102/1159 = 0,088 або 8,8%.

Результати розрахунків у відсотках наведено у таблиці, де в останніх графах показані структурні зрушення, які визначені як різниця між часткою (у %), що припадала на відповідний вид надходжень у поточному та попередньому роках.

Приклад 2

За вихідними даними попереднього прикладу необхідно проаналізувати динаміку доходів Зведеного бюджету області, визначивши відносні величини динаміки. Зробити висновки.

Приклад 6

Кількість зареєстрованих розлучень за чотири роки зросла у 1,57 рази, у тому числі: за перший рік – у 1,08; за другий – у 1,1; за третій – у 1,18; за четвертий – у 1,12рази. Розрахувати середньорічний темп зростання кількості зареєстрованих розлучень.

Розв’язання:

Дані не згруповані, осереднювана ознака представлена відносними величинами динаміки, тому середню величину розраховуємо як середню геометричну просту:

,

 

тобто, в середньому за рік кількість зареєстрованих розлучень зростала в 1,119 рази або на 11,9%.

Приклад 3

Визначити кількість інтервалів та побудувати інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х: 35, 36, 36, 38, 40, 40, 41, 41, 43, 45, 46, 46, 47, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 55, 57, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 64, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 76, 77, 78 Розв’язання

Для визначення кількості інтервалів скористуємося формулою Стерджеса:

m = 1 + log ₂ n,де n – обсяг сукупності.Оскільки обсяг сукупності n = 45, то перейдемо від логарифму по основі 2 до десяткового логарифму за формулою:

log_а n = log_b n / log_b a, абоlog₂ n = log₁₀ n / log₁₀ 2, враховуючи, що log₁₀ 2 = 0,3010, маємоlog₂ n = 3,322 log₁₀ n, тоді формула Стерджеса набуває вигляду:

m = 1 + 3,322 lg nТоді кількість інтервалів: m = 1 + 3,322 × 1,6532 = 6,49 = 6. Оскільки значення ознаки розташовані більш менш рівномірно, використовуємо принцип рівності інтервалів. Ширину кожного інтервалу обчислюємо за формулою:h = (x_max – x_min): m,

де x_max – максимальне значення ознаки;x_min – мінімальне значення ознаки; m – число інтервалівh = (78 – 35): 6 = 7,2.

Тепер визначаємо межі інтервалів:x_{min 1} = x_min = 35.x_{max 1} = x_{min 2} = x_{min 1} + h = 35 + 7,2 = 42,2;x_{max 2} = x_{min 3} = x_{min 2} + h = 42,2 + 7,2 = 49,4;x_{max 3} = x_{min 4} = x_{min 3} + h = 49,4 + 7,2 = 56,6;x_{max 4} = x_{min 5} = x_{min 4} + h = 56,6 + 7,2 = 63,8;x_{max 5} = x_{min 6} = x_{min 5} + h = 63,8 + 7,2 = 71;x_{max 6} = x_{min 6} + h = 71 + 7,2 = 78,2

Створюємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо значення ознаки Х у вигляді визначених інтервалів. Підраховуємо кількість ознак, значення яких потрапляє до відповідного інтервалу, і результати наводимо у нижньому рядку. Отримаємо таку таблицю:

Х	35 – 42,2	42,2–49,4	49,4–56,6	56,6–63,8	63,8–71	71–78,2	Разом
f	8	5	9	7	7	9	45

Висновок: визначивши кількість інтервалів та побудувавши інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності ознаки Х, ми бачимо, що найбільша кількість одиниць сукупності знаходиться в двох інтервалах (49,4 – 56,6) та (71,0 – 78,2) – по 9 одиниць, а найменша - 5 одиниць - у другому інтервалі (42,2 – 49,4).

Приклад 4

Дані про розподіл робітників двох підприємств за рівнем заробітної платні наведені у таблиці:

1 підприємство	2 підприємство
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 500	15
500 – 700	52	500 – 650	25
700 – 900	64	650 – 800	48
900 – 1100	46	800 – 950	69
1100 – 1300	28	950 – 1100	72
1300 і більше	10	1100 – 1250	45
		1250 і більше	18
Разом	220	Разом	292

Провести перегрупування робітників за рівнем заробітної платні, утворивши такі групи: до 700; 700 – 1000; 1000 – 1300; 1300 і більше.

Розв’язання Перегрупування, або вторинне групування, проводиться за припущенням, що в межах одного інтервалу значення ознак розташовано рівномірно. Це припущення дає право ділити частоту інтервалу на частки, пропорційно відрізкам інтервалу.Так, за умовами вторинного групування слід утворити перший інтервал до 700. Для першого підприємства до новоутвореного інтервалу за даними первинного групування увійде перший інтервал (до 500) та другий інтервал, оскільки 700 становить верхню межу другого інтервалу. Враховуючи припущення, до першого новоутвореного інтервалу ввійде частота першого інтервалу первинного групування та частота другого інтервалу первинного групування. Таким чином, частота першого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 20 + 52 = 72, ми використовуємо тут метод простого укрупнення інтервалу. Другий інтервал вторинного групування включає повністю третій інтервал (700 – 900) та половину четвертого інтервалу первинного групування, так як його верхня межа становить 1000. Відповідно частота другого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 64 +0, 5 × 46 = 87. Тут використовується метод перегрупування за часткою окремих груп в загальному їх підсумку (пропорційний дольовий перерозподіл). Аналогічно проводимо розрахунки для решти інтервалів. Розрахунки наведені у відповідних таблицях

Підприємство І

 

Первинне групування	Вторинне групування
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	20	До 700	20 + 52 = 72
500 – 700	52	700 – 1000	64 + 0,5×46 = 64+ 23= = 87
700 – 900	64	1000 – 1300	0,5×46 + 28 = 23+28 = = 51
900 – 1100	46	1300 і більше	10
1100 – 1300	28	×	×
1300 і більше	10	×	×
Разом	220	Разом	220

Підприємство ІІ

Первинне групування	Вторинне групування
Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників	Заробітна платня, грн.	Чисельність робітників
До 500	15	До 700	15 + 25+ + =15+ + 25 +16 = 56
500 – 650	25	700 – 1000	(48-16) + 69 + 1/3 × ×72= 32+69+24 = 125
650 – 800	48	1000 – 1300	(72-24) +45+ 1/3 × 18= 48+45+6=81
800 – 950	69	1300 і більше	18 – 6 = 12
950 – 1100	72	×	×
1100 – 1250	45	×	×
1250 і більше	18	×	×
Разом	292	Разом	291

Висновок: якщо за первинними групуваннями для двох підприємств не можна було робити порівняльний аналіз, то за вторинними групуваннями такий аналіз можливий. Наприклад, можна зробити висновок, що на першому підприємстві значно більша кількість робітників, які отримують найнижчий рівень заробітної плати, а от найвищу заробітну плату на обох підприємствах отримує майже однакова кількість робітників.

 

Приклад 1

Проаналізувати структурні зміни за наведеними даними (дані умовні) про розподіл споживчих витрат населення регіону за окремі періоди і в цілому за весь час:Структура споживчих витрат населення регіону

Вид споживчих витрат	Питома вага, % до загального підсумку
2004 рік	2005 рік	2006 рік
Продовольчі товари Непродовольчі товари Послуги Інші	33,7 54,2 8,7 3,4	43,9 45,3 6,4 4,4	45,2 42,0 8,8 4,0
Разом	100,0	100,0	100,0

Розв’язання: Зміну структури споживчих витрат населення регіону можна дослідити за допомогою лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень (формула 4.7.3), квадратичного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень (формула 4.7.4), квадратичного коефіцієнта відносних структурних зрушень (формула 4.7.5) та лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень за n періодів (формула 4.7.6). Для визначення цих показників зробимо допоміжні розрахунки у табличній формі (див. наступну сторінку).

Для розрахунку лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень (формула 4.7.3) за перший (із 2004 по 2005 рік) і за другий (із 2005 по 2006 рік) періоди використовуємо підсумки стовпчиків 2 і 5 розрахункової таблиці:

проц. пункти; проц. пункти.Таким чином, із 2004 по 2005 рік питома вага окремих видів споживчих витрат населення в середньому змінювалася на 5,6 проц. пункти.

За наступний рік “абсолютні” структурні зрушення зменшилися, тобто структура споживчих витрат почала стабілізуватися.

Аналогічних висновків можна дійти і за розрахунком квадратичного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень (розрахунки за формулою 4.7.4 із використанням підсумків стовпчиків 3 і 6 розрахункової таблиці):

проц. пункти; проц. пункти.

Визначимо величину квадратичного коефіцієнта відносних структурних зрушень (формула 4.7.5), використовуючи підсумки стовпчиків 4 і 7 розрахункової таблиці:

; .Як свідчать ці розрахунки, за перший рік питома вага кожного виду витрат в середньому змінилася майже на ¼ своєї величини, тоді як за наступний рік – тільки на 1/9.

Для узагальнюючої оцінки структурних зрушень у досліджуваній сукупності в цілому за весь час використовуємо лінійний коефіцієнт “абсолютних” структурних зрушень за n періодів (формула 4.7.6 із підсумками з стовпчика 8 розрахункової таблиці).

= 3,1 проц. пункти.Таким чином, за весь час середньорічна зміна частки споживчих витрат населення регіону за всіма видами витрат становила 3,1 процентних пункти.

Приклад 2

Провести порівняльний аналізи динаміки заощаджень населення в двох регіонах країни за умовними даними, наведеними в таблиці:

Роки	Заощадження населення, млн..грн.
у регіоні А	у регіоні Б
2001 2002 2003 2004 2005	815 849 863 870 895	631 637 682 698 743

Розв’язання: При необхідності порівняння характеристик паралельних рядів динаміки явищ, що одночасно розвиваються у часі, попередньо проводять приведення їх до однієї основи, для чого переводять абсолютні показники рівнів кожного ряду у відносні, прийнявши рівень якогось одного періоду за одиницю або за сто (за суттю при цьому розраховуються для кожного ряду базисні коефіцієнти або темпи росту). Представимо результати розрахунку в таблиці. (Для регіону Б зроблені аналогічні розрахунки).

Роки	Заощадження населення
у регіоні А	у регіоні Б
у % до 2001 року	у % до 2001 року
2001 2002 2003 2004 2005	815:815·100=100,0 849:815·100=104,2 863: 849·100=101,7 870:863·100=100,8 895:870·100=102,9	100,0 104,1 103,8 102,3 106,4

Отримані значення темпів росту свідчать про те, що при взятому за основу рівні 2001 року темпи зростання грошових заощаджень значно вищі в регіоні Б, ніж у регіоні А.

Але не завжди результати такі очевидні. Порівняльний аналіз в цілому за весь період часу можна зробити, визначивши середньо річні темпи зростання або приросту по кожному регіону і порівнявши їх, тобто визначити коефіцієнт випередження.

Визначаємо для кожного регіону середньо річні темпи зростання, використовуючи формули 4.8.14 і 4.8.15 :

регіон А -

аналогічний розрахунок виконуємо для регіону Б

В середньому за рік у регіоні А грошові заощадження населення зростали на 2,4 %, а у регіоні Б – на 4,1 %.

Розраховуємо коефіцієнт випередження, як співвідношення темпів приросту (або темпів росту)

.Таким чином, грошові заощадження населення за період із 2001 по 2006 р. у регіоні Б порівняно із регіоном А зросли у 1,708 рази.

Тема 9 Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Динаміка виробництва продукції на підприємстві характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

 

Місяць
Обсяг виробництва, млн. грн.	12,3	12,5	12,2	12,9	13,1	12,8	13,5	13,3	13,9

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер, використавши різні методи. Зробити висновки та прогнозні розрахунки на кінець року.

Розв’язання

Приклад 2

Маємо дані про продаж товарів у приватному торгівельному підприємстві.

Товар	Товарообіг у діючих цінах, тис. грн	Зміна середніх цін у 2-му кварталі порівняно з 1-м, %
1-й квартал	2-й квартал
p0q0	p1q1
1-й	60	64	-20
2-й	42	44	+10
3-й	35	38	без змін

Обчисліть: 1) загальні індекси товарообігу, цін і фізичного обсягу реалізації товарів; 2) зміни обсягу товарообігу в абсолютному виразі в цілому та під впливом зміни рівня окремих чинників.

Розв'язання:

Загальні індекси щодо 3-х товарів разом за формою будуть агрегатними, оскільки реалізовані товари є різними. Індекс товарообігу буде дорівнювати:

І_рq = Σ р₁q₁: Σ р₀q₀ = (64 + 44 + 38): (60 + 42 + 35) = 146: 137 =

= 1,066 (106,6% або +6,6%).

Отже, у цілому товарообіг збільшився на 6,6 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δ pq = Σ р₁q₁ - Σ р₀q₀ = 146 - 137 = + 9,0 тис. грн.

Індекс цін визначаємо як середньозважений гармонійний, для чого зміну середніх цін у 2-му кварталі порівняно з 1-м у % представимо у вигляді коефіцієнтів, тобто індивідуальних індексів ціни на окремі товари:

i_{p 1}=(-20+100):100= 0,8; i_{p 2}=(+10+100):100= 1,1; i_{p 3}=(0+100):100= 1,0; І_р = Σ р₁q₁: Σ р₀q₁ = = (64 + 44 + 38): (64 / 0,8 + 44 / 1,1 + 38 / 1,0) =

= 146: 158 = 0,924 (92,4 % або - 7,6%).

Отже, під впливом зниження цін товарообіг зменшився на 7,6 %. В абсолютному виразі це зменшення становитиме:

 

Δ pq (p) = Σ р₁q₁ - Σ р₀q₁ = 146 - 158 = - 12,0 тис. грн.

 

Індекс фізичного обсягу реалізації товарів буде дорівнювати

І_q = Σ р₀ q₁: Σ р₀ q₀ = 158: 137 = 1,153, (115,3 % або + 15,3%).

 

Отже, під впливом зростання фізичного обсягу реалізації товарів товарообіг збільшився на 15,3 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δ pq (q) = Σ р₀ q₁ - Σ р₀ q₀ = 158 - 137 = +21,0 тис. грн.

Перевірка:

1) Взаємозв'язок індексів: 1,066 = 0,924 ^. 1,154;

2) зв'язок абсолютних приростів: + 9 = - 12 + 21 тис. грн.

Приклад 3

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (тис. грн.).

Відділення банку	Базовий період	Звітний період
швидкість обороту позик Ш0	середній залишок позик З0	швидкість обороту позик Ш1	середній залишок позик З1
1 2	2,00 3,50	110 200	2,50 4,11	100 180
Разом	Х	310	Х	280

На основі наведених в таблиці даних розрахувати:

А. загальні індекси кредитового обороту, швидкості обороту позик та середніх залишків позик.

Б. абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників. Зробити висновки.

Розв’язання завдання А:

Швидкість обороту позик визначається як співвідношення кредитового обороту (КО) до середніх залишків позик:Ш = .Швидкість обороту позик це якісний показник, а середні залишки позик – кількісний. Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів.

Загальний індекс кредитового обороту визначаємо за формулою:

Загальний індекс швидкості обороту позик

Загальний індекс середніх залишків позик

(- 9,8%).

Перевіримо взаємозв’язок між розрахованими індексами

Отримані результати свідчать про те, що в цілому кредитовий оборот у двох відділеннях банку зріс у 1,076 рази, або на 7,6 %. Це відбулося за рахунок зростання швидкості обороту позик (+ 19,3%), та за рахунок зниження середніх залишків позик (– 9,8%).

Розв’язання завдання Б: Визначимо абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників

Δ КО = Σ КО₁ – Σ КО₀ = Σ Ш₁З₁ - Σ Ш₀З₀ = 990 – 920 = +70 тис. грн.;

Δ КО(_Ш) = (Σ Ш₁З₁ – Σ Ш₀З₁ ) = 990 – 830 = +160 тис. грн.;

Δ КО(_З ) = (Σ Ш₀З₁ – Σ Ш₀З₀) = 830 - 920 = - 90 тис. грн.

Таким чином, кредитовий оборот в цілому зріс на 70 тис. грн., в тому числі за рахунок прискорення швидкості обертання позик він зріс на 160 тис. грн., а за рахунок зміни середніх залишок позик - зменшився на 90 тис. грн.

Перевірка взаємозв’язку між абсолютними приростами

Δ КО = Δ КО(_Ш) + Δ КО(_З ) = 160 – 90 = 70 тис.грн.

Приклад 4

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (тис. грн.).

Відділення банку	Базовий період	Звітний період
швидкість обороту позик Ш0	середній залишок позик З0	швидкість обороту позик Ш1	середній залишок позик З1
1 2	2,00 3,50	110 200	2,50 4,11	100 180
Разом	Х	310	Х	280

На основі наведених в таблиці даних оцінити динаміку середньої швидкості обороту позик, розрахувавши індекси середньої швидкості обороту позик змінного, фіксованого складу та індекс структурних зрушень. Зробити висновки.

Розв’язання: Осереднюється швидкість обороту позик (якісний показник), тому середні залишки позик – показник, який знаходиться у знаменнику логічної формули визначення Ш, є показником - сумірником, тобто вагами.

Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів, що характеризують динаміку середньої швидкості обороту позик.

Індекс середньої швидкості обороту позик змінного складу визначаємо за формулою 4.10.14:

Індекс середньої швидкості обороту позик фіксованого складу визначаємо за формулою 4.10.15:

Індекс структурних зрушень визначаємо за формулою 4.10.16:

Визначені індекси свідчать про те, що середня швидкість оборотупозик у звітному періоді порівняно із базовим зросла в цілому на 19,1%. При цьому, за рахунок зростання швидкості обороту позик середня швидкість оборотупозик зросла на 19,3%, а за рахунок змін у структурі залишків позик вона знизилася на 0,1%.

 

Приклад 1

На основі даних, наведених у табл. встановити наявність кореляційного зв’язку, визначити лінію регресії за лінійною моделлю. Оцінити істотність і щільність зв’язку.

Приклад 2

Дані про споживання м’яса в сім’ях робітників та службовців з різним рівнем середньодушового сукупного доходу наведено у таблиці:

 

Рівень середньодушового сукупного доходу	Кількість сімей	Споживання м’яса в середньому на члена сім¢ї за рік, кг
Низький		48, 62, 40, 52, 50, 36
Середній		91 96 84 95 98 94 92 89 98 92
Високий		100 112 108 110

Встановити взаємозв’язок та оцінити його істотність і щільність за допомогою методу аналітичного групування.

Розв’язання: Розрахуємо середні величини в кожній групі за формулою середньої арифметичної простої:

= (48 + 62 + 40 + 52 + 50 + 36) / 6 = 48; = (91 + 96 + 84 + 95 + 98 + 94 + 92 + 89 + 98 + 92) / 10 = 84,6;

= (100 + 112 + 108 + 110) / 4 = 107,5. Загальну середню для всієї сукупності обчислимо за формулою середньої арифметичної зваженої, де в якості окремих ознак беруться середні кожної групи, а частотами є обсяги відповідних груп:

 

= (48 × 6 + 84,6 × 10 + 107,5 × 4) / 20 = 78,2. Визначаємо групові дисперсії за формулою: .

Тоді: = [(48 – 48)² + (62 – 48)² + (40 – 48)² + (52 – 48)² + (50 – 48)² ++ (36 – 48)² ] / 6 ≈ 70,67;

= [(91 – 84,6)² + (96 – 84,6)² + (84 – 84,6)² + (95 – 84,6)² + (98 – 84,6)² ++ (94 – 84,6)² + (92 – 84,6)² + (89 – 84,6)² + (98 – 84,6)² + (92 – 84,6)² ] / 10 = 85,58;

= [(100 – 107,5)² + (112 – 107,5)² + (108 – 107,5)² + (110 – 107,5)²] / 4 = = 20,75.

Середню з групових дисперсій розрахуємо за формулою: = (70,67 × 6 + 85,58 × 10 + 20,75 × 4) / 20 = 68,14.

Міжгрупову дисперсію обчислимо за формулою:

 

[(48 – 78,2)² × 6 + (84,6 – 78,2)² ×10 + (107,5 – 78,2)² × 4] / 20 = 465,79. Використовуючи правило складання дисперсій , визначимо загальну дисперсію: = 465,79 + 68,14 = 533,93.

 

Обчислимо кореляційне відношення: = 465,79 / 533,93 = 0,872.

Критичне значення кореляційного відношення для обсягу сукупності 20 одиниць та трьох груп дорівнює 0,318.

Відповідь: Оскільки розраховане кореляційне відношення більше за його критичне значення, між рівнем середньодушового доходу та споживанням м’яса існує прямий щільний зв’язок.

 

Тема 12Приклади розв’язання типових зада

Приклад 1

Під час безповторного вибіркового спостереження, яке проводилось в одній з крамниць продажу дешевого одягу були отримані такі дані:Розподіл проданого товару за цінами

Ціна товару, грн (Х)	1 – 2	2 – 5	5 – 10	10 – 15	Разом
Кількість проданого товару (f)	84	69	25	2	180

Визначити середню ціну та граничну помилку з імовірністю 0,954; побудувати довірчий інтервал для середньої ціни. Загальна кількість товарів (обсяг генеральної сукупності) 3254 одиниць.

Розв’язання: Для розрахунку середньої ціни за одиницю проданого товару замінимо спочатку інтервальний ряд розподілу дискретним. Використовуючи прийняте у статистиці припущення, що в межах одного інтервалу розподіл уважається рівномірним, значення ознаки (у даному прикладі ціна на товар) замінюємо на відповідні середні значення, які розраховуються за формулою: ,де – середина інтервалу;Х_min – нижня межа певного інтервалу;Х_max – верхня межа певного інтервалу.

Маємо такі значення:

; ; ; .

З урахуванням обчислених значень середин інтервалів, вихідні дані набувають такого вигляду:

Дискретний ряд розподілу проданого товару за цінами

Ціна, грн. ()	1,5	3,5	7,5	12,5	Разом
Кількість товару (f)	84	69	25	2	180

Середня ціна обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої: .Тоді середня ціна за даними вибіркового спостереження: грн.Гранична помилка для безповторного випадкового відбору розраховується за формулою:

,де t – довірче число (або квантиль розподілу), яке для великої за обсягом вибірки (більше 30 одиниць) для ймовірності 0,954 дорівнює 2; – дисперсія вибірки;n – обсяг вибірки;N – обсяг генеральної сукупності.Дисперсія вибірки обчислюється за формулою:

,де – середина окремого інтервалу; – середня арифметична (середня ціна)f_i – частота (кількість проданого товару) кожного окремого інтервалу.Таким чином, дисперсія вибірки:

.Тепер можна визначити граничну помилку: