Обчислення визначеного інтеграла.

Інтегрування підстановкою (заміни змінної).

Нехай для обчислення інтеграла від неперервної функції зроблена підстановка .

Теорема. Якщо:

1) Функція і її похідна неперервні при ;

2) Множиною значень функції при є відрізок ;

3) і ,

то .

Доведення: Нехай є первісною для на відрізку . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца . Оскільки , то є первісною для функції . Тому по формулі Ньютона-Лейбніца маємо ■

Формула називається формулою заміни змінної в визначеному інтегралі.

Відзначимо, що:

1) при обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;

2) часто замість підстановки застосовують підстановку ;

3) не слід забувати міняти межі інтегрування при заміні змінних!

Приклад. Обчислити .

○ Покладемо , тоді .

Якщо , то ; якщо , то .

Тому

.●

Обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування частинами.

Теорема. Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то має місце формула .

Доведення:

На відрізку має місце рівність . Отже, функція є первісною для неперервної функції . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца маємо: . Отже, .■

Формула називається формулою інтегрування по частинах для визначеного інтеграла.

Приклад. Обчислити .

Розв’язання:

Покладемо . Використовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо

Приклад. Обчислити інтеграл . ○

Розв’язання: Інтегруємо по частинах. Покладемо . Тому . ●

Інтегрування парних і непарних функцій в симетричних межах.

Нехай функція неперервна на відрізку , симетричному відносно точки . Доведемо, що

Розіб'ємо відрізок інтегрування на частини і . Тоді за властивістю адитивності .

В першому інтегралі зробимо підстановку . Тоді

(згідно з властивістю: «визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування»). Повертаючись до рівності (2), отримаємо

.

Якщо парна ((), то ; якщо функція непарна ((), то .

Завдяки доведеній формулі можна, наприклад, відразу, не проводячи обчислень, сказати, що

, .

Наближене обчислення визначених інтегралів

Нехай треба знайти визначений інтеграл , де – деяка неперервна на функція. У цьому розділі ми вже показали, як визначити такий інтеграл за допомогою первісної у замкнутому вигляді. Цей метод застосовується лише до досить вузького класу функцій, за межами цього класу використовують різні методи наближених обчислень. Найпростішими з них є метод прямокутників, трапецій та парабол (метод Сімпсона).
Вибираючи наближені методи обчислення визначеного інтеграла, намагаються використати можливості сучасної обчислювальної техніки.

Метод прямокутників

Поділимо відрізок точками на n рівних частин завдовжки і на кожному відрізку виберемо середню точку

(i =1,2…n)
Тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

,
яка називається формулою прямокутників. Очевидно, що чим більшим буде n, тим меншим буде крок Δx і права частина даватиме точніше значення інтеграла.

Метод трапецій

Очевидно, що ми отримаємо точніше значення визначеного інтеграла, якщо криву y =

наблизимо не ступінчастою лінією, як у формулі прямокутників, а ламаною. Тоді площу криволінійної трапеції замінимо сумою площ відповідних прямокутних трапецій (рис. 5)

рис. 5

,

де , (i =0,1…n).

Із зростанням числа n збільшується точність цієї формули.

Метод парабол (формула Сімпсона)

Поділимо відрізок на 2 n однакових частин. Площу криволінійної трапеції, що відповідає першим двом відрізкам та і обмежена кривою y = , замінимо площею криволінійної трапеції, що обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, яка проходить через три точки M₀(x_0,y₀), M₁(x_1,y₁), M₂(x_2,y₂).
Можна довести, що якщо криволінійна трапеція обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, віссю Ox і двома вертикалями x=x₀, x=x₂, відстань між якими дорівнює 2h (тут ), то її площа дорівнює 4 + ), де y₀, y₂ – ординати крайніх точок, y₁ – ордината кривої у середній точці. Такі параболи будуємо і для інших відрізків, сума їх площ дасть наближене значення інтеграла
+ + .
Ця формула дає точніше значення визначеного інтеграла, тому що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку до інтегральної суми входять три значення функції.