Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

1) Задача про площу криволінійної трапеції.

O

Нехай на відрізку задана невід’ємна обмежена функція . Потрібно знайти площу фігури, обмеженої графіком функції , прямими і віссю абсцис (рис.1) Таку фігуру називають криволінійною трапецією.

Рис. 1

З цією метою розіб’ємо відрізок на будь-яке число частин (відрізків) точками

Довжину -ого частинного відрізка позначимо , на кожному частинному відрізку оберемо по одній точці , . В точці проведемо перпендикуляр до осі до зустрічі з кривою , через точку зустрічі проведемо пряму, паралельну осі до зустрічі з прямими і . Так на кожному частинному відрізку буде побудовано прямокутник з основою , висотою і, отже площею . Сукупність цих прямокутників утворює ступінчату фігуру, яка при достатньо дрібному розбитті буде як завгодно мало відрізнятися від заданої криволінійної трапеції. Тоді площа ступінчатої фігури, яка дорівнює сумі площ прямокутників, що її складають, наближено дорівнюватиме площі криволінійної трапеції:

.

Ці рівність тим точніша, чим дрібнішим є розбиття проміжку , і природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови необмеженого подрібнення розбиття, тобто при :

.

Задача про шлях точки у прямолінійному русі.

Нехай точка рухається по прямій з швидкістю . Потрібно знайти шлях, пройдений точкою за проміжок часу , тобто від моменту до моменту .

Розіб’ємо проміжок часу від до на частинних проміжків часу моментами

.

Тривалість -го часового проміжку позначимо і в кожному такому проміжку оберемо по одному значенню . Якщо розбиття проміжку достатньо дрібне, то швидкість точки на -ому частинному проміжку можна наближено вважати сталою, рівною , а шлях, пройдений за цей проміжок часу, наближено рівним . Сума цих «частинних» шляхів дасть наближене значення всього шляху , пройденого точкою за проміжок часу :

.

Точність цієї формули збільшується із зменшенням усіх величин ,

отже при необмеженому подрібненні розбиття, тобто при переході до границі при , отримуємо .

Приклади.

1) .

2) , де при і при .

Тут функція має розрив у точці , але на кожному з проміжків і вона неперервна. Скористаємося з адитивності інтеграла:

3)

.

4)○ .

 

Обчислення визначеного інтеграла.

Метод прямокутників

Поділимо відрізок точками на n рівних частин завдовжки і на кожному відрізку виберемо середню точку

(i =1,2…n)
Тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

,
яка називається формулою прямокутників. Очевидно, що чим більшим буде n, тим меншим буде крок Δx і права частина даватиме точніше значення інтеграла.

Метод трапецій

Очевидно, що ми отримаємо точніше значення визначеного інтеграла, якщо криву y =

наблизимо не ступінчастою лінією, як у формулі прямокутників, а ламаною. Тоді площу криволінійної трапеції замінимо сумою площ відповідних прямокутних трапецій (рис. 5)

рис. 5

,

де , (i =0,1…n).

Із зростанням числа n збільшується точність цієї формули.

Метод парабол (формула Сімпсона)

Поділимо відрізок на 2 n однакових частин. Площу криволінійної трапеції, що відповідає першим двом відрізкам та і обмежена кривою y = , замінимо площею криволінійної трапеції, що обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, яка проходить через три точки M₀(x_0,y₀), M₁(x_1,y₁), M₂(x_2,y₂).
Можна довести, що якщо криволінійна трапеція обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, віссю Ox і двома вертикалями x=x₀, x=x₂, відстань між якими дорівнює 2h (тут ), то її площа дорівнює 4 + ), де y₀, y₂ – ординати крайніх точок, y₁ – ордината кривої у середній точці. Такі параболи будуємо і для інших відрізків, сума їх площ дасть наближене значення інтеграла
+ + .
Ця формула дає точніше значення визначеного інтеграла, тому що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку до інтегральної суми входять три значення функції.

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

1) Задача про площу криволінійної трапеції.

O

Нехай на відрізку задана невід’ємна обмежена функція . Потрібно знайти площу фігури, обмеженої графіком функції , прямими і віссю абсцис (рис.1) Таку фігуру називають криволінійною трапецією.

Рис. 1

З цією метою розіб’ємо відрізок на будь-яке число частин (відрізків) точками

Довжину -ого частинного відрізка позначимо , на кожному частинному відрізку оберемо по одній точці , . В точці проведемо перпендикуляр до осі до зустрічі з кривою , через точку зустрічі проведемо пряму, паралельну осі до зустрічі з прямими і . Так на кожному частинному відрізку буде побудовано прямокутник з основою , висотою і, отже площею . Сукупність цих прямокутників утворює ступінчату фігуру, яка при достатньо дрібному розбитті буде як завгодно мало відрізнятися від заданої криволінійної трапеції. Тоді площа ступінчатої фігури, яка дорівнює сумі площ прямокутників, що її складають, наближено дорівнюватиме площі криволінійної трапеції:

.

Ці рівність тим точніша, чим дрібнішим є розбиття проміжку , і природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови необмеженого подрібнення розбиття, тобто при :

.