Основні властивості визначеного інтеграла.

1) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

2) Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний .

Властивості 1) і 2) приймаються за означенням. Вони підказані процедурою означення інтеграла і виправдовуються далі способом обчислення інтеграла (формулою Ньютона-Лейбніца).

3) Cталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла: .

4) Визначений інтеграл від суми інтегровних функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій: .

Ця властивість очевидним чином поширюється на випадок будь-якого скінченного числа доданків.

Властивості 3) і 4) складають властивість лінійності визначеного інтеграла.

5) Якщо проміжок інтегрувння розбити на скінченну кількість частинних проміжків, то інтеграл по всьому проміжку дорівнює сумі інтегралів по частинних проміжках (властивість адитивності).

Нехай функція інтегрована на відрізку і . Покажемо, що .

Результат очевидним чином розповсюджується на випадок, коли проміжок розбивається на будь-яку скінченню кількість частинних проміжків. Зазначимо, що дана властивість стає цілком наочною, якщо розглянути її з точки зору геометричного тлумачення інтеграла.

6) Нерівність можна почленно інтегрувати: якщо маємо , то .

7) Модуль визначеного інтеграла менший або рівний інтегралові від модуля підінтегральної функції: якщо функція інтегровна на відрізку то .

8) Інтеграл від одиничної функції дорівнює довжині проміжка інтегрування: .

9) Якщо і відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку , то

(теорема про оцінку інтеграла).

Означення. Поділимо щойно одержану нерівність почленно на :

Число називається середнім значенням функції на відрізку . Оскільки , то є висота прямокутника, основною якого є відрізок , а площа дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими , і кривою .

10) Якщо функція неперервна на відрізку , то існує така точка , що (теорема про середнє значення функції).

O

Рис. 2

Справді, функція, неперервна на відрізку, набуває всіх проміжних значень між її найменшим і найбільшим значенням (теорема Коші). Отже існує принаймні одна точка така, що .

11) Інтеграли від парної і непарної функції в симетричних межах.

а) Якщо непарна функція , то .

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (див. рис. 2).

Тому площа = площі .

Але -площа + площа на підставі властивості 5) і геометричного змісту інтеграла.

 

O

Рис. 3

б) Якщо парна функція то .

Графік парної функції симетричний відносно осі , тому площа = площі (див. рис. 3)

= – площа + площа = 2 площі =

 

 

Формула Ньютона-Лейбніца

 

Нехай функція інтегрована на відрізку .

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку і — яка-небудь її первісна, то має місце формула .

Отриману рівність називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Якщо ввести позначення , то формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати так:

.

Формула Ньютона–Лейбница дає зручний спосіб обчислення визначе-ного інтеграла. Щоб обчислити визначений інтеграл від неперервної функції на відрізку , треба знайти її первісну функцію і узяти різницю значень цієї первісної на кінцях відрізка .

Приклади.

1) .

2) , де при і при .

Тут функція має розрив у точці , але на кожному з проміжків і вона неперервна. Скористаємося з адитивності інтеграла:

3)

.

4)○ .