Перша інтерполяційна формула Ньютона

Використовується для інтерполяції в точці x, близької до початку таблиці для функцій з рівновіддаленими вузлами інтерполяції (тобто аргумент змінюється з постійним кроком h). Інтерполяційний багаточлен Ньютона записується наступним чином:

(1.6)

де ∆y_i=y_{i+ 1} –y_i ; ∆ ² y_i=∆y_{i+ 1} –∆y_i ;...; ∆ⁿy_i=∆^{n– 1} y_{i+ 1} –∆^{n –1} y_i є скінченими різницями, починаючи з першого до n -го порядку.

Скінченні різниці різних порядків зручно представити у вигляді таблиці.

Таблиця 1.1

x	y	∆y	∆ ^2 y	…	∆^n– ^1 y	∆^ny
x 0	y 0	∆y 0 =y 1 –y 0	∆ ^2 y 0 =∆ ^1 y 1 –∆ ^1 y 0	…	∆^n– ^1 y 0 =∆^n– ^2 y 1 –∆^n– ^2 y 0	∆^ny 0 =∆^n– ^1 y 1 –∆^n– ^1 y 0
x 1	y 1	∆y 1 =y 2 –y 1	∆ ^2 y 1 =∆ ^1 y 2 –∆ ^1 y 1	…	∆^n– ^1 y 1 =∆^n– ^2 y 2 –∆^n ^–2 y 1
x 2	y 2	∆y 2 =y 3 –y 2	∆ ^2 y 2 =∆ ^1 y 3 –∆ ^1 y 2	…
…	…	……………...	……… ………….....	…
xn– 2	yn– 2	∆yn– 2 =yn– 1 –yn– 2	∆ ^2 yn– 2 =∆ ^1 yn– 1 –∆ ^1 yn– 2
xn– 1	yn– 1	∆yn– 1 =yn–yn– 1
xn	yn

Інтерполяційна формула також може мати вигляд:

. (1.7)

Друга інтерполяційна формула Ньютона

Використовується для інтерполяції в точці x, близької до кінця таблиці для функцій з рівновіддаленими вузлами інтерполяції. Вона відрізняється від першої лише порядком перебирання вузлів:

(1.8)

Характерно, що будь-який k -й член інтерполяції багаточленів Ньютона залежить тільки від k перших або від k останніх вузлів інтерполяції й значень функції в цих вузлах, тобто додавання нових вузлів інтерполяції викликає в інтерполяційних формулах Ньютона тільки додавання нових членів без зміни початкових. Це перевага інтерполяційних багаточленів Ньютона перед інтерполяційним багаточленом Лагранжа. Однак інтерполяційні багаточлени Ньютона можуть бути записані тільки для рівновіддалених вузлів інтерполяції.

Похибка інтерполяційних формул Ньютона така ж, як інтерполяційної формули Лагранжа, тому що при тих самих вузлах інтерполяції інтерполяційні багаточлени Ньютона і Лагранжа збігаються.

Приклад 1.2. Задана функція

x	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2
f (x)	0,17609	0,20412	0,23045	0,25527	0,27875	0,30103	0,32222	0,34242

Необхідно побудувати інтерполяційні багаточлени Ньютона й обчислити значення функції для x ₁=1,53 і x ₂=2,18.

Розв'язок.

Складемо таблицю скінченних різниць заданої функції (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

x	y	∆ y	∆^2 y	∆^3 y	∆^4 y
1,5	0,17609	0,02803	– 0,00170	0,00019	–0,00002
1,6	0,20412	0,02633	– 0,00151	0,00017	–0,00003
1,7	0,23045	0,02482	– 0,00134	0,00014	–0,00003
1,8	0,25527	0,02348	–0.00120	0,00011	–0,00001
1,9	0,27875	0,02228	–0,00109	0,00010
2,0	0,30103	0,02119	– 0,00099
2,1	0,32222	0,02020
2,2	0,34242

Оскільки скінченні різниці четвертого порядку практично постійні, таблицю скінченних різниць закінчуємо на них. Точка x =1,53 лежить на початку інтервалу інтерполяції, тому скористаємося першою інтерполяційною формулою Ньютона (1.7) при x ₀=1,5; h =0,1;

де A_i – коефіцієнти при скінченних різницях.

Обчислення для x =1,53 оформимо як завжди, підставляючи значення y ₀, q, та чотирьох скінченних різниць у формулу, або у вигляді таблиці (табл. 1.3).

Таблиця 1.3

i
Ai		0,3	–0,105	0,0595	–0,040162
∆ ^iy 0	0,17609	0,02803	–0,00170	0,00019	–0,00002
Ai ∆ ^iy 0	0,17609	0,008409	0,000179	0,000011	0,000001

Одержимо

f (1,53)≈0,17609+0,008409+0,000179+0,000011+0,000001=0,18469.

Точка x =2,18 лежить наприкінці інтервалу інтерполяції, тому скористаємося другою інтерполяційною формулою Ньютона (1.8) при x_n =2,2;

де C_i – коефіцієнти при скінченних різницях.

Обчислення для f (2,18) оформимо як завжди, підставляючи значення y ₀, q, та чотирьох скінченних різниць у формулу, або у вигляді таблиці (табл. 1.4).

Таблиця 1.4

i
Ci		–0,2	–0,08	–0,048	0,0336
∆ ^iyn–i	0,34242	0,02020	–0,00099	0,00010	–0,00001
Ci ∆ ^iyn–i	0,34242	–0,00404	0,00008	–0,00005	–0,000003

Одержимо

f (2,18) ≈ 0,34242 – 0,00404 + 0,00008 – 0,00005 – 0,000003 = 0,33841.

Відповідь: f (1,53) = 0,18469; f (2,18) = 0,33841.

Питання для самоперевірки

1. Коли виникає необхідність побудови інтерполяційних функцій?

2. Що таке вузол інтерполяції?

3. Поясніть поняття «інтерполяційна функція».

4. Як будується інтерполяційний багаточлен Лагранжа?

5. Яка сутність поняття «скінченна різниця»?

6. Як обчислюються скінченні різниці першого, другого й n -го порядків?

7. Що таке перша інтерполяційна формула Ньютона?

8. Чим відрізняється друга інтерполяційна формула Ньютона від першої?

9. У чому полягає перевага інтерполяційних багаточленів Ньютона перед інтерполяційним багаточленом Лагранжа?

10. Який недолік інтерполяційних багаточленів Ньютона?

11. Як визначити похибку інтерполяційних формул Ньютона?

12. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за інтерполяційним багаточленом Лагранжа.

13. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за першою інтерполяційною формулою Ньютона.

14. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за другою інтерполяційною формулою Ньютона.