Порядок виконання індивідуального завдання

1. Відповідно до порядкового номера прізвища студента в журналі групи виписати з табл. 1 Додатку 1 значення аргументів і відповідні їм значення функції.

2. Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа.

3. Перевірити значення функції для вузлів інтерполяції.

4. Обчислити за інтерполяційною формулою Лагранжа значення функції для значення аргументу х ₁, зазначеного в 12-му стовпці таблиці завдань (див. Приклад 1.1).

5. Скласти таблицю скінченних різниць для таблично заданої функції.

6. Обчислити за першою інтерполяційною формулою Ньютона значення функції для значення аргументу х ₃, зазначеного в 14-му стовпці таблиці завдань. Оформити обчислення у вигляді таблиці (див. Приклад 1.2).

7. Обчислити за другою інтерполяційною формулою Ньютона значення функції для значення аргументу х ₂, зазначеного в 13-му стовпці таблиці завдань. Оформити обчислення у вигляді таблиці (див. Приклад 1.2).

8. Виконати обчислення за допомогою Excel.

9. Порівняти результати обчислень «вручну» і на комп'ютері.

10. Оформити звіт.

11. Захистити звіт. Оформлений звіт представити на підпис викладачеві, що веде заняття. Необхідно вміти пояснити зміст звіту, а також відповісти на теоретичні питання з суті лабораторної роботи.

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2

АПРОКСИМАЦІЯ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Мета лабораторної роботи

Здобуття практичних навичок побудови апроксимуючих функцій (аналітичних залежностей) за сукупністю дискретних експериментальних даних.

Основні відомості

Постановка задачі

В інженерній практиці у процесі пошуку закономірностей протікання явищ і процесів виникає задача визначення за даними спостережень аналітичних залежностей одного параметра від іншого. Загальна постановка цієї задачі може мати такий вигляд.

Відомо, що між х і у існує функціональна залежність. У результаті експерименту отримана таблиця значень

х	х 0	х 1	х 2	...	хn
у	у 0	у 1	у 2	...	yn

Потрібно знайти функцію, що наближено описує зв'язок між х і у.

Експериментальними даними у такій задачі є табличне представлення функції, яку потрібно апроксимувати деякою аналітичною функцією. Рівняння такої функції є рівнянням зв'язку, що називають також рівнянням регресії. Регресійний аналіз полягає у визначенні аналітичного вираження зв'язку, у якому зміна однієї величини обумовлена впливом одного або декількох незалежних факторів. Регресія може бути однофакторною і багатофакторною.

За формою залежності розрізняють:

· лінійна регресія;

· нелінійна регресія, яка виражається рівняннями степеневої, показникової, експоненційної функцій, а також рівняннями гіперболи і параболи.

Побудова формули включає два етапи:

· з'ясування загального виду залежності;

· визначення найкращих параметрів залежності.

Підбір рівняння регресії у значній мірі залежить від досвіду й мистецтва дослідника. При достатньому досвіді за геометричним розташуванням експериментальних даних можна з достатньою точністю визначити вид апроксимуючої функції. У багатьох випадках вибирається (коли немає інших явних ознак) поліном виду у= а ₀ + а ₁ х +...+ а_mх^m. Однак, який би не був вид апроксимуючої функції, виникає задача визначення таких її параметрів, які б найкращим чином узгоджувалися з експериментальними даними. Одним з таких ефективних методів є метод найменших квадратів.

Метод найменших квадратів

Сутність даного методу полягає в тому, що є залежність f (x, a ₀, a ₁,..., a_m), близька до заданої сукупності значень x_i , y_i у змісті мінімуму квадратичного відхилення

, (2.1)

де e _i – відхилення апроксимуючої функції від експериментальних значень

e _i= f (x_i, a ₀, a ₁,..., a_m)– y_i, i= 0, 1, 2, ..., n. (2.2)

Тоді задача полягає у виборі такої сукупності параметрів a ₀, a ₁,..., a_m, при яких значення критерію (2.1) є мінімальним. При цьому завжди n>m, тому що у випадку n=m виходить задача інтерполяції, в якій значення критерію R може бути зведено до нуля. Необхідною умовою мінімуму критерію (2.1) є рівність нулю всіх частинних похідних функції R по a ₀, a ₁,..., a_m, тобто

. (2.3)

Вирішуючи систему рівнянь (2.3), знаходимо значення a ₀, a ₁,..., a_m коефіцієнтів шуканої залежності.

Лінійна регресія

Нехай шукана функція є лінійної відносно х, тобто у=а ₀ +а ₁ x. Тоді критерій (2.1) прийме вигляд:

(2.4)

Умови мінімуму цього критерію:

. (2.5)

Система рівнянь (2.5), одержуваних диференціюванням (2.4), прийме вигляд:

Або після перетворень

Звідки

(2.6)

Знайдені значення а ₀ і а ₁ підставляються в шукане рівняння у=а ₀ +а ₁ x.

Поліноміальна регресія

Якщо лінійна апроксимуюча функція дає в заданих точках значні відхилення, використовується наближення поліномами другого і вище ступенів вигляду

Так, для квадратних наближень (при m = 2) визначення параметрів a ₀, a ₁, a ₂ за методом найменших квадратів зводиться до знаходження мінімуму критерію (2.1) як функції трьох змінних a ₀, a ₁, a ₂:

.

Умови мінімуму квадратичного критерію мають вигляд:

 

або після перетворень:

(2.7)

Обчислення коефіцієнтів систем (2.7) зручно виконувати у вигляді табл. 2.1.

Таблиця 2.1

i	xi				yi	yi xi	yi
	x 0				y 0	y 0 x 0	y 0
	x 1				y 1	y 1 x 1	y 1
n	xn				уn	yn xn	yn
å

Визначення параметрів нелінійних апроксимуючих функцій методом найменших квадратів пов'язане із трудомістким розв'язанням систем нелінійних рівнянь.