Інші моделі лінійної регресії із двома коефіцієнтами

Для регресійного аналізу можна використовувати будь-яке лінійне рівняння, що зв'язує значення x і y. Всі ці види регресії можна виконати в Excel, побудувавши відповідні лінії тренда. Щоб вибрати потрібний тип регресії, необхідно виділити відповідну команду на вкладці Тип діалогового вікна Формат линии тренда (або діалогового вікна Линия тренда).

Виходячи з характеру вигину, природно припустити експонентну залежність. Побудуємо апроксимуючу криву, для чого двічі клацнемо по існуючій лінії тренда, щоб викликати діалогове вікно Формат линии тренда (рис. 2.12).

Рис. 2.12

На панелі Тип виберіть команду Экспонентная. Натисніть кнопку OK, після чого Excel виконає регресію за допомогою експоненти (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Результат апроксимації даних виглядає ненабагато краще попередньої апроксимації, і відповідна їй величина R ² майже така ж, яка була отримана при використанні рівняння прямої як моделі регресії. На вкладці Тип діалогового вікна Формат линии тренда є ще один варіант вибору – Полиномиальная.

Поліноміальна регресія

Поліноміальна регресія теж лінійна, оскільки поліноміальні коефіцієнти (a_i) входять у рівняння регресії лінійно. Вона відрізняється від інших моделей регресії тим, що містить у собі більше двох коефіцієнтів. Формально регресія за допомогою рівняння прямої також є поліноміальною регресією, однак цей термін звичайно застосовується для поліномів другого ступеня або вище. У програмі Excel можна побудувати лінії тренда, ступінь яких знаходиться в межах від 2 до 6 (табл. 2.5).

Таблиця 2.5

Порядок	Модель регресії	Кількість коефіцієнтів

Примітка. Загально прийнято записувати поліноми, розміщуючи ступені зліва направо у порядку зростання. Однак в Excel рівняння поліноміальної лінії тренда записуються у зворотному порядку, на що варто звернути увагу при читанні рівнянь.

Щоб побудувати поліноміальну регресію другого порядку, відобразіть на екрані діалогове вікно Формат линии тренда, двічі натиснувши на існуючій лінії тренда (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Оберіть тип Полиномиальная і встановіть Степень, рівну 2 (рис.2.15).

Рис. 2.15

Схоже, поліноміальна лінія тренда описує дані краще лінійної, і відповідна їй величина R ² близька до одиниці.

За допомогою ліній тренда регресія виконується досить легко й швидко. Однак що робити, якщо в програмі Excel необхідно апроксимувати дані поліноміальній кривій сьомого ступеня? Таку регресію дозволяє виконати спеціальний пакет аналізу, доступ до якого здійснюється за допомогою команди меню Сервис ® Анализ данных... ® Регрессия.

Виконання лінійної регресії за допомогою пакету регресійного аналізу трохи складніше, ніж звичайна побудова лінії тренда на діаграмі. Такий більш складний підхід може знадобитися ще з двох причин.

1. Необхідність використання моделі регресії, лінія тренда якої відсутня.

2. Потреба в більш докладній інформації про процес регресії, яку не можна одержати за допомогою ліній тренда. Один з видів інформації – графік залишків, що дозволяє виявити погані збіги й полегшує їхнє виявлення, – можна витягти, скориставшись винятково пакетом регресійного аналізу.

Виконання лінійної регресії за допомогою пакета регресійного аналізу буде розглянуто в окремій лабораторній роботі.

Будь-яке регресійне рівняння – це спрощення реальності, змушена «відмова» від реально діючих факторів, їхнє відсікання. Тому кінцевий результат формального моделювання завжди повинен оцінюватися користувачем з погляду здорового глузду на основі неформального комплексу знань про умови розвитку процесу й про припустимі граничні значення показника.

На одному наборі вихідних даних можна одержати до дев'яти рівнянь трендів. Задача дослідника полягає у відборі найкращого тренда, за яким можна було б побудувати надійний прогноз. Фахівець, який розуміє умови розвитку процесу і має досвід моделювання трендів, можливо, не стане перебирати всі альтернативні типи, добре знаючи традиційні залежності, характерні для конкретних показників. У противному випадку необхідно досліджувати всі типи для пошуку рівняння з найвищим значенням коефіцієнта детермінації (R ²).

Питання для самоперевірки

1. Яка загальна постановка задачі апроксимації?

2. У чому відмінність задачі апроксимації від задачі інтерполяції?

3. З яких етапів складається побудова регресійної формули?

4. У чому суть методу найменших квадратів?

5. Як обчислюється відхилення апроксимуючої функції від експериментальних значень?

6. Що є умовою мінімуму критерію квадратичного відхилення?

7. Як одержати систему рівнянь для визначення коефіцієнтів апроксимуючої функції за методом найменших квадратів?

8. Назвіть приклади апроксимуючих функцій і їхні лінійні аналоги.

9. Що таке тренд? У чому складається його сутність?

10. Який вид моделей потрібен, якщо необхідно не тільки прогнозувати майбутні значення показників, але й управляти їхніми змінами?

11. Перелічить основні типи трендів. Які з них підтримує Ехсеl?

12. Запишіть формулу тренда кожноготипу.

13. Які засоби Ехсеl належать до основних засобів побудови трендів?

14. На якому типі діаграм моделюються тренди?

15. Перелічить в технологічній послідовності етапи побудови ліній трендів.