Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Функции. Предел функции

1. Понятие функции. Способы задания функции

 

Определение. Пусть - произвольное множество действительных чисел: . Говорят, что задана функция с областью определения D, если каждому числу из множества D поставлено в соответствие единственное действительное число . Обозначение:

.

Читается: « есть от . Число называется аргументом, число - значением функции при данном значении аргумента. Множество всех значений функции называется областью значений этой функции.

Определение. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, где «пробегает» всю область определения .

Основными способами задания функции являются: аналитический (т.е. с помощью формулы, выражающей ), графический, табличный и словесный.

При аналитическом задании функции обычно считается, что область ее определения совпадает с областью допустимых значений (ОДЗ) аргумента в формуле . Например, областью определения функции

является множество .

Примером словесного задания функции является функция Дирихле: , если - иррациональное число, если - рациональное число.

Заметим, что числовая последовательность - это функция с областью определения . В этом случае вместо пишут просто .

Основные свойства функций

Функция с областью определения называется четной (нечетной), если для любого , выполняется равенство:

.

Функция с областью определения называется периодической, если существует действительное число такое, что, если и , то

для любого .

Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .

Например, функции являются периодическими с периодом , а функции - также периодические, но с периодом .

Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых из А таких, что , выполняется неравенство

.

Функция возрастающая (убывающая) на множестве А называется монотонной на этом множестве.

Пусть - монотонная функция на множестве и - множество ее значений.

Функция с областью определения называется обратной по отношению к функции , если для любого из

.

Из этого определения следует, что график обратной функции получается симметрированием графика данной функции относительно биссектрисы 1^го и 3^го координатных углов.

Например, функций и – взаимно-обратные.

Пусть - функция с областью определения , а - функция с областью определения . Обозначим через множество тех значений аргумента , для которых . Тогда говорят, что на множестве определена сложная функция

.

Окрестностью точки называется всякий открытый интервал с центром в точке ; - окрестностью точки называется интервал .

Пусть - функция с областью определения . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует -окрестность точки такая, что для всех из этой -окрестности выполняются неравенства:

(от лат. maximum - наибольшее, minimum - наименьшее).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (от лат. extremum - крайнее), а значения функции в этих точках - экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет область своего возрастания (убывания) на область убывания (возрастания), т.е. в окрестности точки максимума график функции - «холм», а в окрестности точки минимума - «впадина».

Наибольшим (наименьшим) значением функции в области называется такое число (число ), что для всех из . Если функция задана на отрезке и ее график в каждой внутренней точке имеет единственную касательную, то наибольшее (наименьшее) значение функции на есть максимальное (минимальное) из чисел , и значений функции во всех точках максимума (минимума) этой функции.

 

Предел функции в точке

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е. в самой точке функция может быть и не определена)

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что

верно неравенство

.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если то верно неравенство .

Запись предела функции в точке:

Определение. Если при только при , то - называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

 

 

 

 

 

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы и называются также односторонними пределами функции в точке . Также говорят, что – конечный предел функции .

 

Основные теоремы о пределах

 

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при .

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

 

Теорема 5. Если в некоторой окрестности точки и , то .

Аналогично определяется знак предела при .

Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки и , то .

Определение. Функция называется ограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число , что для всех точек из этой окрестности.

Теорема 7. Если функция ) имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или , т.е. где

Теорема доказана.

 

 

Непрерывность функции

Числовые последовательности

Пример.

или .

или

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число : , т.е.

2) Сложение (вычитание) последовательностей: .

3) Произведение последовательностей: .

4) Частное последовательностей: при .

 

Определении

1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.

2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.

3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.

4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая.

Найдем -й член последовательности

Найдем знак разности:

, т.к. , то знаменатель положительный при любом .

Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

.

Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.

Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности.

Так как - неубывающая последовательность, то при ,

. Отсюда или или , т.е. .

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.

Число е

 

Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:

или

Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .

Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

.

Число является трпансцендентным числом и приблизительно равно

Число является основанием натурального логарифма.

 

Производная сложной функции

 

Теорема. Пусть , причем область значений функции входит в область определения функции .Тогда

Доказательство. Имеем

.

Переходя к пределу в обеих частях при получим:

,

(с учетом того, что если , то , т.к. – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

 

Свойства дифференциала

 

Если и - функции, дифференцируемые в точке , то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие равенства:

 

1)

 

2)

3)

 

4)

 

Формула Тейлора

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка до включительно, (т.е. все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, причём .

Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Представим функцию в виде некоторого многочлена , значение которого в точке равно значению функции , а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке :

.

Чем больше значение , тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он определяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке и составляем систему уравнений:

Решение этой системы при не вызывает затруднений, получаем:

,

,

,

,

…………………….

.

Подставляя полученные значения в формулу (), получи:

.

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией , т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину .

Тогда:

.

Теорема доказана.

Иногда используется другая запись для остаточного члена . Тавк как точка , то найдется такое число q из интервала , что . Тогда можно записать:

Тогда, если принять , , , формулу Тейлора можно записать в виде:

где . Если принять , получим:

.

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

 

Формула Маклорена

 

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Другими словами, чем больше по модулю значение разности тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

Кроме того, можно показать, что остаточный член является бесконечно малой функцией при , причем долее высокого порядка, чем , т.е.

.

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

 

По формуле Тейлора

 

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

 

Функция .

 

Находим: , ,

, ,

……………………

, ,

Тогда: .

Пример. Найдем значение числа . В полученной выше формуле положим .

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003.

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451.

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553.

 

 

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Следовательно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

Функция

Получаем ; ;

; ;

; ;

; ;

…………………………………………

; ;

; ;

Следовательно

 

Функция

 

Для функции , применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

Функция

( - действительное число)

…………………………………………………..

.

Тогда:

;

.

Если в полученной формуле принять , где - натуральное число и то , тогда

.

Получили формулу, известную как бином Ньютона.

Пример. Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

 

 

Два члена разложения

 

 

Четыре члена разложения

 

Шесть членов разложения

 

 

 

Десять членов разложения

 

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению , и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Для примера вычислим значение .

Предварительно переведем угол в радианы: .

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

.

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Следоватеельно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при функция является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при , близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. .

Пример. Вычислить .

Для того чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

; ;

; ;

; ;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция

Получаем: ;