Производные и дифференциалы высших порядков

 

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале. Дифференцируя, находим её первую производную:

.

Если найти производную функции , получим вторую производную функции если последняя существует:

,

т.е. или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени .

.

 

Правила нахождения производных высших порядков

 

Если функции и дифференцируемы, то

1) ;

2) ;

3)

.

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле может быть найден дифференциал - го порядка.

Исследование функции с использованием производной

Исследование функции на возрастание и убывание

 

Теорема. 1) Если функция имеет производную на отрезке и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. .

2) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке , причем для , то эта функция возрастает на отрезке .

Доказательство. 1) Если функция возрастает, то при и при . Тогда:

2) Пусть для любых точек и , принадлежащих отрезку , причем . Тогда по теореме Лагранжа находим , .

По условию , следовательно, , т.е. функция возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно доказать, что если функция убывает на отрезке , то на этом отрезке. Если в промежутке , то убывает на отрезке .

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .

Определение. Функция имеет в точке максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функция имеет в точке минимум, если при любом ( может быть и отрицательным).

Оределение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция дифференцируема в точке и точка является точкой экстремума функции, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция имеет в точке максимум (для минимума доказательство аналогично). Тогда при достаточно малых положительных верно неравенство:

, т.е. .

Тогда

.

По определению:

,

т.е. если , но , то , а если , но , то .

А это возможно только в том случае, если при Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то отсюда вообще говоря не следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, функция имеет производную в точке равную нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но не достаточные. Например, и .

Вообще говоря, функция может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция определена и непрерывна в интервале , содержащим критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ).

Если при переходе через точку слева направо производная функции меняет знак с “+” на “-“, то в точке функция имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет в точке минимум.

Доказательство. Пусть По теореме Лагранжа: , где .

Тогда: 1) Если , то ; ; . Следовательно

или .

2) Если , то ; ; . Следовательно

или .

Так как ответы совпадают, то в любых точках в некоторой окрестности точки , т.е. – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно сформулировать алгоритм для нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

Исследование функции на экстремум с помощью

Производных высших порядков

Пусть в точке и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Теорема. Если , то функция в точке имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Так как функция непрерывна, то будет отрицательна в некоторой достаточно малой окрестности точки .

Так как , то убывает на интервале, содержащем точку , но , т.е. при и при . Это и означает, что при переходе через точку производная меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если , то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.