Представление некоторых элементарных функций

По формуле Тейлора

 

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

 

Функция .

 

Находим: , ,

, ,

……………………

, ,

Тогда: .

Пример. Найдем значение числа . В полученной выше формуле положим .

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003.

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451.

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553.

 

 

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Следовательно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

Функция

Получаем ; ;

; ;

; ;

; ;

…………………………………………

; ;

; ;

Следовательно

 

Функция

 

Для функции , применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

Функция

( - действительное число)

…………………………………………………..

.

Тогда:

;

.

Если в полученной формуле принять , где - натуральное число и то , тогда

.

Получили формулу, известную как бином Ньютона.

Пример. Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

 

 

Два члена разложения

 

 

Четыре члена разложения

 

Шесть членов разложения

 

 

 

Десять членов разложения

 

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению , и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Для примера вычислим значение .

Предварительно переведем угол в радианы: .

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

.

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Следоватеельно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при функция является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при , близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. .

Пример. Вычислить .

Для того чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

; ;

; ;

; ;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция

Получаем: ; ;

;

………………………………………

 

Следовательно:

;

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма . Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

= 0,405465108108164381.

.

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.