Интегрирование ррациональных, тригонометрических иррациональных функций.

Интегрирование рациональных функций - Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов: . Если , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого:

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена , а именно:

Каждому действительному корню кратности 1 в разложении соответствует член .

Каждому действительному корню кратности в разложении соответствует набор из членов .

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности 1 в разложении соответствует член ( - корни уравнения ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности в разложении соответствует набор из членов .

В приведенных выражениях - неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях к соответствующим коэффициентам и решая систему относительно .

Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

 

Матрицы основные понятия. Действия над матрицами.

Матрицей размера m на n (записывается так)называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е.

Множества. Функция, основные понятия.

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N,..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n,... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств.Функция (или Функциональная зависимость) – это зависимость переменной y от переменной x. Это такая зависимость, при которой каждому значению переменной x соответствует только одно значение переменной y.Переменную x называют независимой переменной или аргументом.Переменную y называют зависимой переменной или функцией от переменной x.Значение независимой переменной называют абсциссой (горизонтальная плоскость графика).Соответствующее значение зависимой переменной называется ординатой (вертикальная плоскость графика).Совокупность значений независимой переменной называется областью определения функции.Совокупность значений зависимой переменной называют областью значений функции.График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.