Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Определение. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица -го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение. Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

 

,

 

 

где _ij – алгебраическое дополнение элемента _ij данной матрицы .

Напомним, что матрица ^-1 называется обратной матрице , если выполняется условие ^{-1 -1} , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица .

 

1.2.2. Обратная матрица

Теорема ( единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

Для нахождения обратной матрицы применим алгоритм:

1.Найдем определитель матрицы и убедимся, что он отличен от нуля, т.е. матрица невырожденная и имеет обратную матрицу .

2.Составим союзную матрицу .

 

3.Найдем произведение матриц и Оно равно и .

 

4.Составим обратную матрицу

.

 

Свойства обратной матрицы:

1. .

2. .

3. .

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Решение.

1. Найдем , следовательно матрица имеет обратную.

2. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы :

 

, ,

, .

 

Cоставим союзную матрицу .

 

3. Найдем произведение матриц :

 

.

Аналогично проверим, что :

 

.

4. Составим обратную матрицу .

 

1.2.3. Ранг матрицы

Определение. В матрице, состоящей из строк и столбцов, вычеркнем некоторые строки и столбцы так, чтобы число оставшихся строк и столбцов стало одинаковым, например . Из этих строк и столбцов составим определитель. Этот определитель называется минором k-го порядка.

Количество таких миноров определяется числами и , а наивысший порядок, который они могут иметь, равен наименьшему из чисел и , то есть . Наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть сами элементы матрицы.

Предположим, что все определители некоторого порядка , входящие в матрицу, равны нулю. Тогда все определители -го порядка также равны нулю, так как всякий определитель порядка можно представить в виде суммы произведений элементов его некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения (а это определители -го порядка) этих элементов. Аналогично все определители порядка также будут равны нулю. Это значит, что если все определители -го порядка равны нулю, то и все определители большего порядка также равны нулю.

Определение. В матрице порядка минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается: или .

Можно использовать и другое определение ранга матрицы.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров.

Если ранг матрицы равен , то среди определителей порядка , входящих в эту матрицу, есть, по крайней мере, один, отличный от нуля, но определители матрицы -го порядка равны нулю.

Ранг нулевой матрицы равен нулю, так как все миноры матрицы равны нулю.

 

Пример. Найти ранг матрицы .

Решение. Вычислим определитель матрицы , .

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Еще одним методом вычисления ранга матрицы размера является метод окаймляющих миноров.

Суть его в том, что для вычисления ранга матрицы нужно найти хотя бы один ее минор порядка отличный от нуля, тогда ранг равен . Если все ее миноры -го порядка равны нулю, то следует рассматривать миноры порядка и так далее.

Однако на практике часто поступают наоборот – переходят от миноров меньшего порядка к минорам большего порядка. Если найден минор -го порядка отличный от нуля, то вычисляют только миноры -го порядка которые являются окаймлением найденного минора -го порядка. Если все такие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен .

 

Пример. Найти ранг матрицы , выполнив элементарные преобразования и получив эквивалентную матрицу.

Решение.

 

 

. В последней матрице есть минор 2-го порядка отличный от нуля, , значит .