Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Производная сложной, обратной , неявной функции.

 

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x ₀ и x ₀ + : f (x ₀) и f (x ₀ + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x ₀ + ) - f (x ₀)называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x ₀называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке x ₀ . Производная функции f (x) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x ₀, f (x ₀)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x ₀) имеет вид:

y = f ’(x ₀) · x + b.

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x ₀) = f ’(x ₀) · x ₀ + b,

отсюда, b = f (x ₀) – f ’(x ₀) · x ₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f (x ₀) + f ’(x ₀) · (x – x ₀).

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t ₀ до t ₀ + точка перемещается на расстояние: x (t ₀ + ) - x (t ₀) = , а её средняя скорость равна: v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t ₀) материальной точки в момент времени t ₀. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t ₀) = x’ (t ₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная есть функция переменной , а переменная есть, в свою очередь, функция от независимой переменной .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

. Утверждение легко получается из очевидного равенства (справедливого при и ) предельным переходом при (что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет ).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве дифференцируемая функция имеет множество значений и на множестве существует обратная функция .

Теорема. Если в точке производная , то производная обратной функции в точке существует и равна обратной величине производной данной функции: , или

.

Эта формула легко получается из геометрических соображений.

Так как есть тангенс угла наклона касательной линии к оси , то есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии ) в той же точке к оси .

Если и острые, то , а если тупые, то .

В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство

.

Во многих задачах функция y (x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y (x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y' (x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

• Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).