Производные основных элементарных функций

 

Приведём производные основных элементарных функций.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

, где ;

, где ;

, где ;

, где ;

Пример. Найти производные следующих выражений: а) ; б) ; в)

Решение. Каждая из данных функций является степенной функцией, поэтому все производные находятся по формуле . Имеем:

а) ;

б) ;

с) .

 

Производные суммы, разности, произведения и частного

 

Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций или находятся по следующим формулам:

; ;

, , с – число,

.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. , найти

Решение. Сначала найдем производную функции :

Итак, . Теперь находим значения производных при конкретных значениях :

 

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную функцию .

Решение.

Производная сложной функции

Пусть функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в точке . Тогда, сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле

 

Для краткости используется следующая запись последней формулы:

 

 

Пример. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , , тогда . По теореме о производной сложной функции . Находим:

, ,

откуда

Пример. Найти производную функции .

Решение.

 

Пример. Найти производную функции .

Решение.

 

Задание 1.