Дифференцирование неявных функций

 

Пусть определяют y как неявную функцию от х. Будем считать, что функция дифференцируема.

Продифференцировав по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно .

Производные высших порядков находятся по той же схеме.

Пример. Найти производную второго порядка функции заданной неявно

Решение. Найдем производную первого порядка

Выразим , для этого все члены не имеющие перенесем вправо, а все, которые с оставим слева

теперь вынесем за скобки

и выразим

Найдем

Для этого продифференцируем обе части полученного уравнения, считая y функцией от х

 

Производная функции, заданной параметрически

 

Пусть функция y от х задана параметрическими уравнениями

тогда или

Производная второго порядка находится по формуле .

Пример. Найти производную второго порядка функции заданной параметрически

Решение. Найдем

тогда

Найдем

тогда

 

Задания 3.

 

1) Найти производную указанного порядка.

2) Найти производную n -го порядка.

3) Найти производную второго порядка функции заданной неявно

4) Найти производную второго порядка функции заданной параметрически

 

Вариант 1	Вариант 2
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 3	Вариант 4
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 5	Вариант 6
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 7	Вариант 8
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 9	Вариант 10
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 11	Вариант 12
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 13	Вариант 14
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 15	Вариант 16
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 17	Вариант 18
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 19	Вариант 20
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 21	Вариант 22
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 23	Вариант 24
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 25	Вариант 26
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 27	Вариант 28
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)
Вариант 29	Вариант 30
1) ,	1) ,
2)	2)
3)	3)
4)	4)

 

Применение производной

Приложение производной к задачам геометрии и механики

Если кривая задана уравнением , то , где -угол, образованный с положительным направлением оси касательной к кривой в точке с абсциссой :

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид: где -есть значение производной при

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормами имеет вид:

Угол между двумя кривыми и в точке их пересечения называется углом между касательными к этим кривым в т.

Угол находится по формуле

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент времени есть производная пути по времени , а ускорение, есть производная скорости по времени, или производная второго порядка пути по времени

или

Пример: Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой , проведенная в точке с абсциссой .

Решение. Найдем производную

при , получим

т.е. , а угол

Пример: Составить уравнение касательной и нормами к кривой

в точке

Решение. Найдем производную из уравнения кривой

тогда

определим значение производной в точке , для этого поставим в найденную производную координаты точки , получим

Уравнение касательной будет:

или

Уравнение нормами

или

Пример: Найти угол между параболами ;

Решение: Найдем координаты точки , точки пересечения парабол, для этого решаем уравнение:

; ; ; ;

Получилось две точки, назовем их и

Продифференцируем уравнение парабол ;

Найдем угловые коэффициенты касательных к параболам в точке , т.е. значение производных при ;

Следовательно

также определяем угол между кривыми в точке ;

Пример: Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана управлением

( в секундах; в метах) определить скорость движения и ускорение в конце второй секунды

Решение: Скорость определим из условия

ускорения

Теперь определим и в конце второй секунды, т.е. подставим, в найденные уравнения секунды получим:

Задание 4.