Решить задачи используя физический смысл производной.

 

1. Траектория движения тела - кубическая парабола, . В каких ее точках скорости возрастания абсциссы и ординаты одинаковы? Ответ:

2. 3акон движения материальной точки . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2м/сек (Ответ: 10/3 с).

3. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи. (Ответ: 40 м/с; или 26м/с).

4. Материальная точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса х равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит положение (6; 2). (Ответ: -1/3 м/с).

5. В какой точке параболы ордината возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/4; 1)).

6. Закон движения материальной точки . Найти скорость движения точки в момент времени . (Ответ:22м/с).

7. Закон движения материальной точки .Найти скорость ее

движения в момент времени . (Ответ: 100м/с).

8. 3акон движения материальной точки . Найти ее скорость в момент времени - (Ответ:-1м/с).

9. 3акон движения материальной точки . Найти ее скорость в момент времени (Ответ:2/3 м/с).

10. Закон движения материальной точки . Найти ее скорость в момент времени .(Ответ:3/8 м/с).

11. Закон движения материальной точки .В какой момент времени ее скорость будет равна 42 м/с. (Ответ:3с).

12. 3акон движения материальной точки . В какой момент времени ее скорость будет равна 190 м/с. (Ответ:4с).

13. Закон движения материальной точки . Найти скорость ее движения в момент времени . (Ответ:78 м/с).

14. 3акон движения материальной точки . Найти скорость ее движения в момент времени . (Ответ:88 м/с).

15. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с;33 м/с).

16. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и . С какой скоростью удаляются эти точки в момент встречи? (Ответ:39 м/с; 32 м/с).

17. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и . В какой момент времени их скорости окажутся равными? (Ответ: 6с).

18. Закон движения материальной точки . В какой момент времени скорость ее движения будет равна 10 м/с? (Ответ:7с).

19. Материальная точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса равномерно возрастает со скоростью 1м/с; с какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (4, 5)? (Ответ:-1,25 м/с).

20. В какой точке параболы ордината возрастает в двое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/2; 2)).

21. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и C какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с или 35 м/с).

22. В какой точке кривой ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/4; 2)).

23. В какой точке параболы абсцисса возрастает вдове быстрей, чем ордината? (Ответ: (9/4; 9/16)).

24. В какой точке параболы абсцисса возрастает в пять раз быстрее, чем ордината? (Ответ: (1;0,1)).

25. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых и в какой момент времени их скорости буду равными? (Ответ: 4с).

26. 3акон движения материальной точки по прямой задан формулой . В какой момент времени скорость точки будет равна нулю? (Ответ: 6 с).

27. Тело движется по прямой Ох по закону . Определить скорость и ускорение движение тела. В какие моменты времени оно меняет направление движения? (Ответ:2с; 5с).

28. Материальная точка движется прямолинейно так, что , где V -скорость; х -пройденный путь. Определить ускорение движения точки в момент, когда скорость равна 6м/с (Ответ: 1/2 м/с²).

29. 3акон движения материальной точки . Найти скорость ее движения в момент времени t= 2c. (Ответ: 15м/с).

30. Дано уравнение движения точки по оси Ox: (x измеряемая в метрах, t - в секундах). Найти скорость и ускорение этой точки в момент времени t= 10 с. (Ответ V= 4,7 м/c; W=a=- 0,06 м/с²).

Задание 6.

 

1. Под каким углом синусоида , пересекает прямую у= 1/2.

2. Показать, что гиперболы и пересекаются под прямым углом.

3. Определить угол, под которым пересекаются кривые и

4. Под каким углом пересекаются гипербола и парабола .

5. На параболе взяты две точки с абсциссами и . Через эти точки проведена секущей. В какой точке параболы касательная к ней параллельна секущей?

6. Канат висячего моста имеет форму параболы и прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на расстоянии 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точки подвеса. Найти угол между канатом и опорами.

7. При каком значение а, кривая пересекает ось Ох под углом 45°.

8. Найти угол пересечения кривой и прямой .

9. Найти угол пересечения линий и .

10. Найти угол пересечения линий и

11. Найти угол пересечения кривых и .

12. Составить уравнения касательной и нормали к полукубической параболе: , , проведены в точке t =2.

13. Найти угол пересечения кривых и

.

14. Определить, под каким угол кривая пересекает ось абсцисс.

15. Найти точки, в которых касательные к графикам функции и параллельны.

16. 3анисать уравнения касательных и нормалей к кривой . В точках пересечения ее с осью Оу.

17. Записать уравнение касательных и нормалей к кривой в точках пересечения ее с осью Ох.

18. 3аписать уравнение касательных к гиперболе в точках с абсциссами , и найти угол между касательными.

19. На параболе взяты две точки с абсциссой , . В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна секущей, проведенной через эти точки.

20. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке (-2; 3).

21. Записать уравнение нормали к астроиде и в точке, для которой .

22. Составить уравнение той нормали к кривой , которая перпендикулярна к биссектрисе первого и третьего координатных углов.

23. Найти расстояние от вершины параболы до касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.

24. В уравнении параболы . Определить b и с, если известно, что парабола касается прямой в точке .

25. Провести касательную к кривой так, чтобы она прошла через начало координат. Написать уравнение этой касательной.

26. Найти угол, под которым пересекаются параболы и .

27. Найти углы, под которым пересекаются эллипс и парабола .

28. Составить уравнение касательной к линии в точке ее пересечения с прямой

29. Найти касательную к кривой , параллельную прямой .

30. При каком значении параметра а парабола касается кривой ?