Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 3,25.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 3,25.

Тираж 500 экз. Заказ № 10.

 

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

 

 

Содержание

 

Дифференциальное исчисление
1. Производная функции
1.1. Определение производной
1.2. Производные основных элементарных функций
1.3. Производные суммы, разности, произведения и частного
1.4. Производная сложной функции
Задание 1
1.5. Логарифмическое дифференцирование
Задание 2
1.6. Производные высших порядков
1.7. Дифференцирование неявных функций
1.8. Производная функции, заданной параметрически
Задание 3
2. Применение производной
2.1. Приложение производной к задачам геометрии и механики
Задание 4
Задание 5
Задание 6
2.2. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения
Задание 7

 

 

Введение

 

Настоящее пособие является практическим приложением к разделу «Дифференциальное исчисление».

Пособие содержит практические задания, соответствующие разделам «Дифференциальное исчисление» и «Применение производной». Каждый раздел содержит вопросы для проработки теоретического материала, типовые задания с детально разработанным решением, задания для самостоятельного решения в объеме 30 вариантов.

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

Производная функции

 

Определение производной

 

Рассмотрим функцию , определённую на некотором интервале

Разность называется приращением аргумента в точке . Разность называется приращением функции в точке .

Если существует предел (конечный или бесконечный)

то он называется производной (конечной или бесконечной) функции в точке и обозначается .

Для производной функции используются следующие обозначения:

Замечание. Приращение функции в точке часто обозначают через . Однако, не следует забывать, что эта величина зависит от точки и от приращения .

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в некоторой точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , где – угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

Механический смысл производной – это скорость изменения пути по времени .

Пример. Найти по определению производную функции .

Решение. Зафиксируем произвольную точку . Так как , то и ,поэтому .

Отсюда,

,

Следовательно,

Так как в качестве можно взять любое число неравное нулю, то для любого числа получаем

.

Например,

Пример. Найти по определению производную функцию .

Решение. Зафиксируем произвольную точку . Так как , то и , поэтому

.

Следовательно,

,

Воспользовавшись непрерывностью функции и первым замечательным пределом

,

получаем

.

Так как в качестве можно взять любое число, то для любого числа вводим

Например, .

 

Производные основных элементарных функций

 

Приведём производные основных элементарных функций.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

, где ;

, где ;

, где ;

, где ;

Пример. Найти производные следующих выражений: а) ; б) ; в)

Решение. Каждая из данных функций является степенной функцией, поэтому все производные находятся по формуле . Имеем:

а) ;

б) ;

с) .

 

Производные суммы, разности, произведения и частного

 

Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций или находятся по следующим формулам:

; ;

, , с – число,

.

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. , найти

Решение. Сначала найдем производную функции :

Итак, . Теперь находим значения производных при конкретных значениях :

 

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную функцию .

Решение.

Производная сложной функции

Пусть функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в точке . Тогда, сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле

 

Для краткости используется следующая запись последней формулы:

 

 

Пример. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , , тогда . По теореме о производной сложной функции . Находим:

, ,

откуда

Пример. Найти производную функции .

Решение.

 

Пример. Найти производную функции .

Решение.

 

Задание 1.