Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

· — производная суммы есть сумма производных.

· — здесь — дифференцируемая скалярная функция.

· — дифференцирование скалярного произведения.

· — дифференцирование векторного произведения.

· — дифференцирование смешанного произведения.

 

Таблица производных

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Содержание · 1 Производные простых функций · 2 Производные экспоненциальных и логарифмических функций · 3 Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций · 4 Производные гиперболических функций · 5 Правила дифференцирования общих функций

Производные простых функций

·

·

·

Вывод

(cx)' = cx ' = c

· когда и определены,

Вывод

(x + h) ^c = x^c + (x^c)' h + o (h)

(x + h) ^c − x^c = (x^c)' h + o (h)

cx^{c − 1} h + o (h) = (x^c)' h + o (h)

cx^{c − 1} = (x^c)'

·

Вывод

Так как , то пусть и

Тогда

·

·

·

·

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

·

Вывод

·

·

·

·

Вывод

log_a (x + h) = log_ax + (log_ax)' h + o (h)

log_a (x + h) − log_ax = (log_ax)' h + o (h)

·

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

·

Вывод

sin(x + h) = sin x + (sin x)' h + o (h)

sin(x + h) − sin x = (sin x)' h + o (h)

(cos x) h + o (h) = (sin x)' h + o (h)

cos x = sin ' x

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Производные гиперболических функций

Правила дифференцирования общих функций

(частный случай формулы Лейбница)

— Правило дифференцирования сложной функции

 

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x ₀, а функция g имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x ₀.

Содержание · 1 Одномерный случай o 1.1 Замечание o 1.2 Инвариантность формы первого дифференциала o 1.3 Пример · 2 Многомерный случай o 2.1 Следствия

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y ₀ = f (x ₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y (x), где x = x (t), принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g (y) в точке y ₀ имеет вид:

где dy — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай

Пусть даны функции где y ₀ = f (x ₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh (x ₀) = dg (y ₀) * df (x ₀).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

Следствия

· Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

·

Производная обратной функции

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.