Операции над последовательностями

Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Содержание · 1 Определение · 2 Примеры · 3 Операции над последовательностями · 4 Подпоследовательности o 4.1 Примеры o 4.2 Свойства · 5 Предельная точка последовательности · 6 Предел последовательности · 7 Некоторые виды последовательностей o 7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности § 7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности § 7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей o 7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности § 7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей o 7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности § 7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей o 7.4 Монотонные последовательности o 7.5 Фундаментальные последовательности

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

· Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

· Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

· Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x ₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f: Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что .

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность , где (k_n) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

· Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

· Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

· Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

· Для всякой подпоследовательности верно, что .

· Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

· Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

· Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

· Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

· Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

История

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:

· ;

 

· .

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства

Арифметические свойства

· Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

o Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

o Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

· Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

· Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Свойства сохранения порядка

· Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

· Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

· Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

· Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

· Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

· Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

Другие свойства

· Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

· Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

· Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

· Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

· У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

· Имеет место теорема Штольца.

· Если у последовательности x_n существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

· Если у последовательности чисел существует предел , и если задана функция , определенная для каждого и непрерывная в точке , то

Примеры

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Случай комплексных чисел

Комплексное число a называется пределом последовательности { z_n }, если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N = N (ε), начиная с которого все элементы z_n этой последовательности удовлетворяют неравенству
| z_n − a | < ε при

Последовательность { z_n }, имеющая предел a, называется сходящейся к числу a, что записывается в виде .

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве x_n последовательность x_n = (− 1) ⁿ, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, 1, − 1, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

Замечания

· Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно, либо не иметь предела.

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание · 1 Определение · 2 Определения o 2.1 Предел функции по Гейне o 2.2 Предел функции по Коши o 2.3 Окрестностное определение по Коши o 2.4 Предел по базе множеств o 2.5 Эквивалентность определений · 3 Вариации и обобщения o 3.1 Односторонний предел o 3.2 Предел вдоль фильтра o 3.3 Пределы на бесконечности § 3.3.1 Предел на бесконечности по Гейне § 3.3.2 Предел на бесконечности по Коши § 3.3.3 Окрестностное определение по Коши · 4 Обозначения · 5 Свойства пределов числовых функций · 6 Примеры

Определение

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

Определения

Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .^[1]

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе.

Пусть — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

· число A называется пределом функции по (при) базе , если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент B базы, колебание функции на котором не будет превосходить величину ε:

ω(f, B) < ε.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

· , где ;

· , где .

Соответственно этому вводятся две базы:

· «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «»;

· «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «».

 

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.^[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Основная статья: Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Основная статья: Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Обозначения

Если в точке у функции существует предел, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к , и пишут одним из следующих способов:

· , или

· .

Если у функции существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

· , или

· .

Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

· , или

· .

Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

· , или

· .

Примеры

· Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе.

· Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке.

· Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

· Функция имеет предел на бесконечности, равный нулю.

· Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.

 

Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x ₀, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x) − a = α(x), .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x ₀, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства бесконечно малых

· Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

· Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o (α).

· Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o (β).

· Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O (α) или α = O (β) (в силу симметричности данного отношения).

· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

· При величина x ⁵ имеет высший порядок малости относительно x ³, так как . С другой стороны, x ³ имеет низший порядок малости относительно x ⁵, так как .

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x ⁵ = o (x ³).

· то есть при функции f (x) = 2 x ² + 6 x и g (x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2 x ² + 6 x = O (x) и x = O (2 x ² + 6 x).

· При бесконечно малая величина 2 x ³ имеет третий порядок малости относительно x, поскольку , бесконечно малая 0,7 x ² — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

·

·

·

·

· , где a > 0;

·

· , где a > 0;

·

·

· , поэтому используют выражение:

, где .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Примеры использования

· Найти

Заменяя sin 2 x эквивалентной величиной 2 x, получаем

· Найти

Так как при получим

· Вычислить .

Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего б