Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x ₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная функции f в точке x ₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U (x ₀) справедливо представление

при

Замечания

· Назовём Δ x = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) приращением значения функции в точке x ₀. Тогда

· Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

· Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

· Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀, то в окрестности U (x ₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x ₀. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀.

Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция f дифференцируема в x ₀, то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n -го порядка f ⁽ⁿ⁾ определена в некоторой окрестности точки x ₀ и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или

или

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

· Лагранжа f ⁽ⁿ⁾(x ₀), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f ⁽¹⁾(x ₀) = f '(x ₀) = f^I (x ₀),

f ⁽²⁾(x ₀) = f ''(x ₀) = f^II (x ₀),

f ⁽³⁾(x ₀) = f '''(x ₀) = f^III (x ₀),

f ⁽⁴⁾(x ₀) = f^IV (x ₀), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

· Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

· Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

— производная первого порядка x по t при t = t ₀, или — вторая производная f по x в точке x ₀ и т. д.

· Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

, или иногда .

· В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение U с индексом x (без штрихов), что означает производная U по x.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

Примеры

· Пусть f (x) = x ². Тогда

· Пусть f (x) = | x |. Тогда если то

f '(x ₀) = sgn x ₀,

где sgn обозначает функцию знака. Если x ₀ = 0, то а следовательно f '(x ₀) не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

· C ' = 0

· x ' = 1

· ^[2]

· ^[3]

·

· …(g ≠ 0)

· (g ≠ 0)

· Если функция задана параметрически:

, то

Основная статья: Дифференцирование сложной функции

·

· Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

· если функция дифференцируема на интервале (a, b), то она непрерывна на интервале (a, b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y (x) = | x | на [ − 1,1]);

· если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f '(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

· производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

·

Доказательство

y = f (x) ^{g (x)}

ln y = g (x)ln f (x)

■

Таблица производных некоторых функций

Основная статья: Таблица производных

Функция	Производная	Примечание
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.