Асимптотические обозначения в уравнениях

· Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например n = O (n ²)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (n ∈ O (n ²)).

· Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x → 0 формула e^x − 1 = x + o (x) обозначает, что e^x − 1 = x + f (x), где f (x) — функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству o (x). Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, — содержит только одну функцию из класса O (n ²).

· Если асимптотические обозначения встречаются в левой части уравнения, используют следующее правило:
какие бы мы функции не выбрали (в соответствии с предыдущим правилом) взамен асимптотических обозначений в левой части уравнения, можно выбрать функции вместо асимптотических обозначений (в соответствии с предыдущим правилом) в правой части так, что уравнение будет правильным.
Например, запись x + o (x) = O (x) обозначает, что для любой функции f (x) ∈ o (x), существует некоторая функция g (x), такая что выражение x + f (x) = g (x) — верно для всех x.

· Несколько таких уравнений могут быть объединены в цепочки. Каждое из уравнений в таком случае следует интерпретировать в соответствии с предыдущим правилом.
Например: 4 n ⁴ + 4 n ² + 1 = 4 n ⁴ + Θ(n ²) = Θ(n ⁴). Отметим, что такая интерпретация подразумевает выполнение соотношения 4 n ⁴ + 4 n ² + 1 = Θ(n ⁴).

Приведенная интерпретация подразумевает выполнение соотношения:

, где A, B, C — выражения, которые могут содержать асимптотические обозначения.

Примеры использования

· e^x = 1 + x + x ²/2 + O (x ³) при x → 0.

· n! = O ((n / e) ^{n +1/2}) при n → ∞.

· T (n) = (n + 1)² = O (n ²) при n → ∞.

Доказательство:

Если положить n ₀ = 1 и c = 4, то для n ≥1 будет выполняться неравенство (n + 1)² < 4 n ². Отметим, что нельзя положить n ₀ = 0, так как T (0) = 1 и, следовательно, это значение при любой константе c больше c 0² = 0.

· Функция T (n) = 3 n ³ + 2 n ² при n → ∞ имеет степень роста O (n ³). Чтобы это показать, надо положить n ₀ = 0 и c = 5. Можно, конечно, сказать, что T (n) имеет порядок O (n ⁴), но это более слабое утверждение, чем то, что T (n) имеет порядок роста O (n ³).

· Докажем, что функция 3 ⁿ при n → ∞ не может иметь порядок O (2 ⁿ). Предположим, что существуют константы c и n ₀ такие, что для всех n ≥ n ₀ выполняется неравенство 3 ⁿ ≤ c 2ⁿ. Тогда c ≥ (3/2)ⁿ для всех n ≥ n ₀. Но (3/2)ⁿ принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом n, поэтому не существует такой константы c, которая могла бы мажорировать (3/2)ⁿ для всех n больших некоторого n ₀.

· T (n) = n ³ + 2 n ² есть Ω(n ³) при n → ∞. Для проверки достаточно положить c = 1. Тогда T (n) > cn ³ для n = 0,1,....

История

Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок).

Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Содержание · 1 Определения o 1.1 ε-δ определение § 1.1.1 Комментарии · 2 Связанные определения o 2.1 Точки разрыва · 3 Свойства o 3.1 Локальные o 3.2 Глобальные · 4 Примеры o 4.1 Элементарные функции o 4.2 Функция с устранимым разрывом o 4.3 Функция знака o 4.4 Ступенчатая функция o 4.5 Функция Дирихле o 4.6 Функция Римана · 5 Вариации и обобщения o 5.1 Равномерная непрерывность o 5.2 Полунепрерывность o 5.3 Односторонняя непрерывность o 5.4 Непрерывность почти всюду

Определения

ε-δ определение

Пусть и .

Функция f непрерывна в точке , если для любого существует δ > 0 такое, что

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C ⁰ и пишут: или, подробнее, .

Комментарии

· Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.

· Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x ₀, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x ₀, и этот предел совпадает со значением функции f (x ₀).

· Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Связанные определения

Точки разрыва

Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее: Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два варианта:

· либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе — устранимая особая точка). Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

· либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:

o если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

o если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства

Локальные

· Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой 043Eкрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

· Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

· Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

· Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.