Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная непрерывность

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого существует δ > 0 такое, что | f (x ₁) − f (x ₂) | < ε для любых двух точек x ₁ и x ₂ таких, что | x ₁ − x ₂ | < δ.

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

· функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E (a), что f (x) > f (a) − ε для всякого ;

· функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E (a), что f (x) < f (a) + ε для всякого .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

· если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;

· если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

· если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;

· если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x ₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ()

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

 

Производная функции

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Содержание · 1 История · 2 Определение o 2.1 Определение производной функции через предел o 2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 · 3 Дифференцируемость · 4 Замечания · 5 Геометрический и физический смысл производной o 5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой o 5.2 Скорость изменения функции · 6 Производные высших порядков · 7 Способы записи производных · 8 Примеры · 9 Правила дифференцирования · 10 Таблица производных некоторых функций · 11 Производная вектор-функции по параметру

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.^[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U (x ₀) можно представить в виде

f (x ₀ + h) = f (x ₀) + Ah + o (h)

если существует.