Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.

Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.

Правила: Пусть lim x_n = а и lim у_n = b. Тогда:

1. lim(x_n+у_n) = а + b (словами: "предел суммы равен сумме пределов");

2. lim(x_n*у_n) = а·b (словами: "предел произведения равен произведению пределов");

3. lim1/ у_n = 1/b если все числа у_n,а также и сам предел b отличны от нуля;

4. lim x_n/ у_n=a/b если все у_n,а также b не равны нулю.

Примеры: 1) lim _n→∞ ((1/n)*e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) * lim _n→∞ (e^1/n)=0*1=0

2) lim _n→∞ ((1/n)+e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) + lim _n→∞ (e^1/n)=0+1=1

3) lim _n→∞ (1/n²)= [1/∞]=0 (так как lim _n→∞ (n²)= ∞).

4) lim_n→∞ ((n²-8)/(3n²+5n-4))= lim_n→∞ ((1-8/n²)/(3+5/n-4n²))=1/3

Опр.: e —математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Число e называют числом Эйлера. Приближенно . Число е определяется по-разному, один из способов: - второй замечательный предел.

Пример:

Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.

Предел ф-и — одно из основных понятий мат-го анализа. Ф-я f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, зн-е f(x) близко к L. Предел – единственен!

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Обозначение предела функции

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Пример: lim _х→а (х+1)=а+1

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Примеры: 1) lim _х→1 ((1/х)*e^1/х)= lim _х→∞ (1/х) * lim _х→∞ (e^1/х)=1*е=е

2) lim _х→1 ((1/х)+e^1/х)= lim _х→1 (1/х) + lim _х→1 (e^1/х)= 1+е

3) lim _х→1 (2e^1/х)= 2lim _х→1 (e^1/х)=2е

4) lim _х→1 23=23

5) lim _х→1 (2+1/х)/(e^1/х)= lim _х→1 (2+1/х)/ lim _х→1 (e^1/х)=3/е

 

8. Дайте определения односторонних пределов функции.

Число а называется пределом функции f(x) в точке х₀ справа, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {х_n}, в которой все х_n>х₀, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а. Это записывают так: Lim_{x→ х0-0} f(x)=a.

Аналогично определяют предел функции f(x) в точке х₀ cлева:Lim_{x→ х0+0} f(x)=a

Пределами функции справа и слева называется Односторонними пределами.

Пример: Пусть и

Тогда

Поск одностор пределы ф-и f (x) в т 3 различны, то предела данной ф-и в 3 не существует.

Перечислите основные правила вычисления пределов функций.

Пусть существуют пределы Lim_x→х0 f(x)=a и Lim_x→х0 g(x)=b.

Тогда: 1. Lim_x→х0 (f(x)+g(x))=a+b Lim

2. Lim_x→х0 (f(x)*g(x))=a*b

3. Lim_x→х0 1/g(x)=1/b, если g(x)≠0 в окрестности х_0, а также b≠0

4. Lim_x→х0 f(x)/g(x)=a/b, если g(x)≠0 в окрестности х_0, а также b≠0

Примеры: 1) lim _х→1 ((1/х)*e^1/х)= lim _х→∞ (1/х) * lim _х→∞ (e^1/х)=1*е=е

2) lim _х→1 ((1/х)+e^1/х)= lim _х→1 (1/х) + lim _х→1 (e^1/х)= 1+е

3) lim _х→1 (2e^1/х)= 2lim _х→1 (e^1/х)=2е

4) lim _х→1 (1/х)/(e^1/х)= lim _х→1 (1/х)/ lim _х→1 (e^1/х)=1/е

 

Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Доказательство (правило Лопиталя):

- второй замечательный предел.

Пример:

Где 2,71828…-иррациональное число, называемое число Эйлера.

Пример

Найти точки условного экстремума функции z = x² + y² при x + y = 1.

1.Функция Лагранжа L(x,y,t) = (x²+y²)t + t(x+y -1)

2.Критические точки

L'x=2x+t=0, L'y=2y+t=0, L't=x+y-1=0, Следовательно (x0=1/2, y0=1/2, t0=-1)

3.Вид условного экстремума

g'x= (x+y)'x=1, g'y=(x+y)'y=1, L'xx=2, L'xy=0, L'yy=2

∆= 0 1 1 = -4<0

1 2 0

1 0 2 То M₀ (1/2, ½) –точка условного минимума.

39. Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?

Однородная ф-я – ф-я одного или неск переменных, удовлетворяющая след условию: при одновременном умножении всех аргументов ф-и на один и тот же (произвольный) множитель зн-е ф-и умножается на некот степень этого множ-ля, т. е. для однородной ф-и двух аргументов f (x, y) при всех зн-ях х, у и любом λ должно иметь место рав-во: f (λ x, λ у) = λⁿ f (х, y), где n — т.н. степень однор-ти.

Т Эйлера: если в выражении полного диф-ла ф-и f (x, у) заменить диф-ал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают ф-ю f (x, у), умноженную на степень однородности, т.е.:

Степень однородности равна (–4).

40. Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками и оно целиком содержит отрезок .
Функция, заданная на выпуклом множестве, будет выпуклой вниз, если все точки поверхности, заданной этой функцией, соответствующие отрезку множества В, лежат не выше хорды, соединяющей точки (рис. 12). Анал-но можно дать геом-ое толкование вып вверх ф-и двух переменных.

Очевидно, выпуклая ф-я не может иметь седловых точек (точек перегиба). Это зн-ит, что для вып ф-и рав-во нулю частных производных явл-я не только необ усл экс-, но и дост.

Более того, экстремум выпуклой ф-и явл-ся глобальным, то есть наим-м зн-ем во всей области определения в случае функции, выпуклой вниз, и наиб-им в случае функции, выпуклой вверх.

Теорема. Если ф-я выпукла (вогнута) во всей обл определения D, тогда она имеет не более одной точки глобального минимума (максимума) в области D.

Пример: Исследовать на выпуклость и вогнутость:

Найдем критические точки:

Исследуем эти точки, для этого найдем частные производные:

Исследуем точку M ₁: а) А =6 х (М ₁=0 ), В = –6 (М ₁ = –6 ), С =48 у (М ₁=0 )

∆(М ₁)= АС – В ²= –36 < 0. В точке М ₁ нет экстремума, т.к. ∆<0.

Исследуем точку M ₂: б) А =6 х (М ₂=6 ), В = –6 (М ₂ = –6 ), С =48 у (М ₂=24 )

∆(М ₂)=108 > 0. Т.к. значение A>0, значит в точке М ₂ минимум (z _min=0). Ф-я выпукла.

41. Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.

Определение: Если F(x) – первообразная для f(x),то выражение F(x) + C, где С – произволь пост-ая, наз-ся неопределенным интегралом от ф-и f(x).

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства: 1. Пример

2. Доказательство:

Пример

3. Пример

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Док-во: Это вытекает из того, что если ф-и U, V и W – первообразные соот-но для u, v и w, то производная их суммы (разности) будет равна сумме (разности) производных.

Пример

5. Пример

Пример: см. выше

44. Дайте определение определенного интеграла и приведите формулу Ньютона-Лейбница. Сформулируйте основные свойства определенно го интеграла, иллюстрируя их примерами.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками () такими, что . Длины полученных отрезков обозначим (), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается ,

2. Формула Ньютона – Лейбница: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – первообразная для f(x). Тогда

Пример.

3. Основные св-ва определенного интеграла:

1.

Пример.

2. , где k – постоянная.Пример. =1

3. =0;

 

4. Пример.

 

5.если f(x)£g(x) на отрезке [a,b], то

6.если на отрезке [a,b] выполняется m£f(x)£M,то

m(b-a)£ (оценка интеграла)

пример.

M=3/5,m=1/2 на [0;2] c помощью производной

½(2-0)£ £3/5(2-0)

7.теорема о среднем

Для непрерывной на отрезке[a,b] функции y=f(x) найдется точка сÎ[a,b]

45. Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.

Вычисление площадей плоских фигур.

 

Изв-но, что опред-ый инт на отрезке предст-ет собой площадь криволин трапеции, огран-ой гр-ом ф-и f(x). Если гр расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0 (случай 2), то площадь имеет знак “-“, если гр расп выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+” (случай 1).

Для нахождения суммарной площади используется формула .В 3 случае имеем область, принадлежащую обеим криволинейным трапециям (как для верхней, так и для нижней функции). В данном случае площадь заштрихованной области – разница площадей трапеций верхнего и нижнего графиков функций.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Объем тел вращения. Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что ф-я f(x) непр-на на отре [a, b]. Если соотвую ей кривол трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так наз-ое тело вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

При вращении вокруг оси Оу рассуждения аналогичны, только Примечание: Рисунок тот же только вместо х написать у.

Пример: Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми

46. Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.

Пусть ф-я f(x) опр-на и непр-на на инт-ле [a, ¥). Тогда она непр-на на любом отрезке [a, b].

Оп-е: Если существует конечный предел , то этот предел называется несоб-м интегралом от ф-и f(x) на интервале [a, ¥). Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример. - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример. - интеграл сходится

47. Дайте определение двойного интеграла. Сформулируйте определение элементарной области вдоль координатной оси и правило вычисления двойного интеграла. Приведите пример вычисления двойного интеграла.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0. Сово-ть всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой обл-ю D. Если выбрать точки обл-и без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.С геом точки зрения D - площадь фигуры, огран0ой контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i.

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – ф-я непр-ая и однозначная для всех точек области D. Если беск увел-ть кол-во частичных обл-ей D_i, тогда, очевидно, площадь каж частичного участка S_i стремится к нулю.

Опр-е: Если при стремлении к нулю шага разбиения обл D интегральные суммы имеют кон предел, то этот пр наз-ся двойным инт-ом от ф-и f(x, y) по обл D.

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

В прив-ой выше записи им-ся два знака S, т.к. сумм-ние производится по 2 перем х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Теорема. Если ф-я f(x, y) непр-на в замкнутой обл D, огран-ой линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

 

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

 

=

48. Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

Числовой ряд. Пусть дана {u_n}- числ. послед.; Числовым рядом называется бесконечная сумма членов послед. u_n т.е. u₁+u₂+…+u_n+…

обозначение:

Ряд называется сходящимся, если сходится посл-ть его частных сумм к некот числу S. S-сумма ряда. Сумма сход ряда – предел посл-ти его частных сумм.

Критерий Коши (необ-ые и дост усл-я сходимости ряда): Для того, чтобы посл-ть была сходящейся, необ-мо и дост-но, чтобы для любого сущ-вал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, вып-ось бы нерав-во: .

Для того, чтобы ряд был сход-ся необ-мо и дост-но, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 вып-ось бы нер-о

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

. Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних. Согласно интегральному признаку, ряд расходится!

49. Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.

Положительный ряд можно записать в виде: где

Предельный признак Даламбера является сле-ем из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотриц-ми членами сущ-ет такое число q<1, что для всех достаточно больших n вып-ся нер-во ,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

Следствие. Если сущ-ет предел , то при r<1 ряд сх-ся, а при r>1 ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сх-ти ряда. Проверим вып-е необ-ых условий сх-ти. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

, т о, необ-ое усл-е сх-ти не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Если j (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j (1) + j (2) + …+ j (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд сх-ся при a>1 и расх-ся a£1 т.к. соответствующий несобс интеграл сх-ся при a>1 и расх-ся a£1. Ряд наз-ся общегармоническим рядом.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u_i убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Примером условно сходящегося знакочередующегося ряда может служить ряд:

Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.

Правила: Пусть lim x_n = а и lim у_n = b. Тогда:

1. lim(x_n+у_n) = а + b (словами: "предел суммы равен сумме пределов");

2. lim(x_n*у_n) = а·b (словами: "предел произведения равен произведению пределов");

3. lim1/ у_n = 1/b если все числа у_n,а также и сам предел b отличны от нуля;

4. lim x_n/ у_n=a/b если все у_n,а также b не равны нулю.

Примеры: 1) lim _n→∞ ((1/n)*e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) * lim _n→∞ (e^1/n)=0*1=0

2) lim _n→∞ ((1/n)+e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) + lim _n→∞ (e^1/n)=0+1=1

3) lim _n→∞ (1/n²)= [1/∞]=0 (так как lim _n→∞ (n²)= ∞).

4) lim_n→∞ ((n²-8)/(3n²+5n-4))= lim_n→∞ ((1-8/n²)/(3+5/n-4n²))=1/3

Опр.: e —математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Число e называют числом Эйлера. Приближенно . Число е определяется по-разному, один из способов: - второй замечательный предел.

Пример: