Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.

Вначале отметим, что к разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если ф-и f(x) и g(x) дифф-емы в вблизи точки а, непр-ны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отн-ия ф-й при х®а равен пределу отн-я их производных, если этот предел (кон-й или беск-й) сущ-ет.

Первый предел. Док-во (правило Лопиталя):

Второй замечательный предел.

Доказательство (правило Лопиталя и свойство ):

, ч.т.д.

29. Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.

Теорема (возрастание и убывание на отрезке): 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Анал-но можно сделать вывод о том, что если ф-я f(x) убывает на отрезке [ a, b ], то f¢(x) £0 на этом отрезке. Если f¢(x) <0 в пром-ке (a, b), то f(x) убыв на отрезке [ a, b ].

Конечно, данное утверждение справедливо, если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b).

Рассмотрим функцию f (x) на множестве М⊆D(f).
Число f (a) назовем наибольшим значением ф-и f на мн-ве М (абсолютным или глобальным максимумом) и обозначим f (a)=max x ∈ Mf (x), если точка a ∈М и f (x)≤ f (a) при любыx x ∈ M.

Число f (b) назовем наим-им значением ф-и f на мн-ве М (абсолютным или глобальным мин-ом) и обозначим f (b)=min x ∈ Mf (x), если точка b ∈М и f (x)≥ f (b) при любыx x ∈ M.
Если в качестве множества М рассмотреть некоторую окрестность точки a, то f (a) называют локальным максимумом функции f и обозначают max U (a) f (x).
Если в качестве множества М рассмотреть некоторую окрестность точки b, то f (b) называют локальным минимумом функции f и обозначают min U (b) f (x).
Теорема 1: Если функция f во внутренней точке x ₀∈D имеет производную и производная, то f (x ₀) не есть локальный экстремум.
Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x ₀∈D имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f ′(x ₀)=0 (необходимое условие локального экстремума).
Теорема 2 (дост усл лок экстремума): Пусть точка x ₀- критическая точка ф-и f и пусть ф-я f непрерывна в ней. Если ф-я f дифференцируема в некот выколотой окр-ти U ₀(x ₀) в точке x ₀ и ее производная при переxоде через точку x ₀меняет знак, то f (x ₀) есть лок экстремум ф-и, причем f (x ₀) будет лок max, если производная f ′ при переxоде ч\з точку x ₀ меняет свой знак с '+' на '-' и f (x ₀) - лок min, если f ′ при переxоде через точку x ₀меняет свой знак с '-' на '+'.
Теорема 3 (дост усл лок экс): Пусть точка x ₀- стац точка ф-и f. Если f дифф-ма в некот окр-ти U (x ₀) точке x ₀, а в самой точке x ₀она дважды диф-ма и f ′′(x ₀)=0, то f (x ₀) - есть лок экс ф-и f, а именно f (x ₀)является лок max, если f ′′(x ₀)<0и f (x ₀) - локальным min, если f ′′(x ₀)>0.

30. Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.

Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке х Î R, если для любых x1 x2 и x3 этого промежутка выполняется:

Пример: Функция у = -х² выпукла вверх на промежутке , т.к.

у = -х² , y¢ = -2x, y¢¢ = -2 0 Þ выпукла вверх

у = х² , y¢ = 2x, y¢¢ = 2 0 Þ выпукла вниз

Т-ма 1 Ф-я y=f(x) вып вверх (вниз) на числ пром-ке X, если f¢¢(x) >0 (соотв-но <0) для всех х Î X.

31. В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.

Определение: Точкой перегиба непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема 1. (необходимое условие перегиба). Вторая производная f¢¢(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна 0, т.е. f¢¢(x) = 0

Теорема 2.(достаточное условие перегиба). Если вторая производная f¢¢(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀, меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба её графика.

Пример: Найдём точки перегиба графика функции y = (x)³

1.) y¢ = 3x²

2.) y¢¢ = 6x

6x=0, y¢¢ = 0, x₀ =0 есть точкa перегиба гр ф-и. При переходе через данную точку ф-я действительно меняет свой знак (что видно из гр данной ф-и).