Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: В чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций: а) Если функция непрерывна, то она дифференцируема? б) Если функция дифференцируема, то она непрерывна? Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости ф-и следует ее непрерывность. Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необ-мо док-ть озвученый факт или привести пример, кот опровергает этот факт. Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, что данная функция является непрерывной и что ее производная будет следующей: Покажем, что в точке нуль производная не существует. Для этого найдем производную в нуле по определению производной: Данный предел равен 1, если ∆ х →0+ и равен (–1), если ∆ х →0–, получается что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема. 23. Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример. Дифференциалом функции называется величина dy= f ′ (х)dх Рассмотрим подробнее формулу ∆y»dy или f ′ (х0+∆х) – f(х)» f ′ (х) ∆х; т.е. f ′ (х0+∆х)» f ′ (х0) ∆х + f ′(х0) – расчётная формула Эйлера; Найдём Полагаем y = f(x) = ; х0 = 1, ∆х = 0,01 и y¢ = f ′ (х) = , согласно расчётной формуле: » + * 0,01» 0,01 2 способ Дифференциалом функции в точке х0 называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению. df(х0)= f ′ (х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′ (х0)dх
24. Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке . Теорема Коши: Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что . Домножим левую часть уравнения на Получили т-му Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда . Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что . Следствие 1: Если производная y¢=f¢(x) равна 0 на X, то для всех x Î Х выполняется f=const. Следствие 2: Правило Лопиталя 0: Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции f (х) =1 - 4 на отрезке : y=1-(x4)1/5 ; f(-2) = 1-(-24)1/5 = f(2) В итоге: f ’(c)=0 Найдём f ’(x)=(1-(x4)1/5)’ = -4/5 *x-1/5=-4 / 5*x1/5 ¹ 0 Следовательно теорема Лагранжа не выполняется. 25. Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке . Теорема Коши: Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что . Домножим левую часть уравнения на Получили теорему Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда . Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что Пример: y = f(x) =1/x на [-2; 2] 1. функция не является непрерывной на отрезке [-2; 2] Следовательно теорема Лагранжа не выполняется. 26. Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Покажите, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ферма на и найдите соответствующее значение х = с на . Теорема (Ферма). Пусть f(x) определена и дифференцируема на некотором интервале (a;b) и в точке c (a;b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда . Теорема (Ролля). Если ф-я f(x) непр-на на отрезке [a, b], дифф-ема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка с, a < с < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, т.е. f¢(с) = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка с такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки. Парабола определена и дифференцируема на заданном участке, а также имеет максимум в своей вершине (y max=4). , откуда, согласно теореме, х =1. Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке . Пример: непрерывна на заданном отрезке, дифференцируема на заданном интервале, а Значит в заданном интервале существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: . Причем . Все условия теоремы Ролля выполнены. 27. Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке . Пример: Функция на концах отрезка [0, 8] принимает равные значения . . При , не существует. Нарушено условие теоремы Ролля.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 404; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.137.13 (0.006 с.) |