Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.

Производная по напр-ю —предел df(x₀,y₀)/de^→ =lim_t→0+0 f(x_o+te_x,y₀+te_y)-f(x₀,y₀)/t Произв по напр-ю пок-ет на сколько быстро ф-я изменяется при движении вдоль заданного направления. Так как произв пок-ет скорость изм-я ф-и, то можно сказать, что хар-ет быстроту изм-я ф-и по напр-ию в точке . Если напр-е совпадает с полож-ым напр-ем оси Ох, то есть част производная ф-и по х в точке . Если совпадает с полож направлением оси Оу, то есть частная производная функции по у в точке .

 

 

f’(M)=F _Y(M)*V₁+F _Y(M)*V₂/

Градиент-вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке M. gradf(m)=(f _x(m);f _y(m)) z=5x³y²-x

Пр. Пусть z=f(x;y) = 3х+5у+6. Тогда grad z = {3_;5} – направл роста ф-и – вектор нормали.

Основное свойство градиента: Вектор-градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

grad (C · f) = C · grad f, grad (f + g) = grad f + grad g,

grad (f · g) = g · grad f + f · grad g,

grad f/g = g · grad f − f · grad g/g²

35. Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифферен­цируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.

Пусть ф-я u = f (x₁, x₂,…, x_n) опр-на и непрерывна в нек- огр-ом и замкнутом мн-ве D и имеет на этом мн-ве конечные част производные (за искл, быть может, отд точек). Тогда эта ф-я достигает на D своего наиб и наим зн-я (см. св-ва непрерывных ф-й). Если это знач дост-ся во внутр точке мн-ва, то, очевидно, эта точка д быть стац; кроме того, наиб и наим зн-е может дост-ся на границе мн-ва D. Поэтому для опр-ия наиб и наимо зн-й ф-и на мн-ве D треб-ся:

1) найти стац точки ф-и, принадлежащие D, и выч-ть зн-я ф-и в этих точках; 2)найти наиб и наим зн-е, принимаемое ф-ей на границе мн-ва D;3) выбрать наим и наиб из полученных чисел, кот-е и будут являться наим- и наиб- зн-ми ф-и на всем мн-ве D.

Пример. Найдем наиб зн ф z = sin x + sin y – sin (x + y) в треуг-ке со сторонами х = 0, у = 0, х + у = 2π. Стац точки опр-ся из решения системы , откуда . Един-ой внутр точкой дан тр-ка, являющейся реш-м получ сис-мы, будет , в кот . Это зн-е оказывается наиб и на всем рассм-ом мн-ве, так как на его границе z = 0.

36. Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.

Пусть D – открытое множество в R ², f(x,y) – определенная на множестве D ф-я. Предположим, что в каждой точке М ÎD существуют частные производные f ‘_x и f ‘_y. Тогда частные производные f ‘_x(x,y) и f ’_y(x,y) естественно считать ф-ми с обл опр D Они наз-ся частными производными пер-го порядка. Част производные от ф-й f ‘_x(x,y) и f ’_y(x,y) наз-ся част производными вт-го порядка от ф-и f(x,y). Част производные от част производных вт-го порядка наз-ся част производными т-го порядка и т.д. Если первая производная ф-и z= f(x,y) была взята скажем, по x, то ее частные производные в (x₀,y₀) обозн-ся так:

 

Продолжая дифф-ть полученные рав-ва, получим частные произв более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными частными производными.

Теорема. Если производные f²_xy(x,y) f²_yx(x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(x₀,y₀) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство: .

Пример: Док-ть справедливость теоремы (част производные высших порядков не зависят от порядка дифф-ия) для f (x;y) = x³–3y³+5xy²

Проверка: f '_x=3x²+5y² f '_y=10xy–9y² f ''_xy=10y f ''_yx=10y. Теорема спр-ва.

37. Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некот обл, в некот окр-ти точки М₀(х₀, у₀) верно нерав-во то точка М₀ называется точкой минимума

Теорема. (Необ-ые условия экс). Если ф-я f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экс, то в этой точке либо обе ее част производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Дост усл-я экст-) Пусть в окр-ти крит точки (х₀, у₀) ф-я f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

D=Determinant=∆

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

38. Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.

Определение: Точка М₀ = (x_0, y₀) Î U называется точкой условного максимума (минимума), если существует ε – окрестности точки М0, что для всех M(x,y) из этой ε – окр-и, удовлетворяет условию g(x,y) = C, выполняется неравенство z0 = f(x0,y0) ≥ z = f(x,y) или соответственно z0 = f(x0,y0) ≤ z = f(x,y).

Опр-е. Ф-й Лагранжа для ф-и z = f(x,y) наз-ся выражение вида

L = (x,y,t) = f(x,y) – t(g(x,y)-c), где t наз-ся множителем Лагранжа

Теорема: Если M0(x0,y0) – точка усл экс ф-и z = f(x,y) при g(x,y) = c, то сущ-ет такое t=t0, что точка (x0,y0,t0) будет точкой экс ф-и Лагранжа.

Алгоритм нахождения точки условного экстремума:

1.Найти критические точки функции Лагранжа, т.е. решить систему уравнений

L'_x = f'x + tg'x = 0, L'x = f'y + tg'y = 0, L't = g – c =0

2.Составим определитель

0 g'x g'y

∆ = g'x L''xx L''xy

g'y L''yx L''yy

3.Вычислить ∆ в критических точках. Если ∆>0, то f(x,y) имеет условный максимум. Если ∆<0, то f(x,y) имеет условный минимум.

Пример

Найти точки условного экстремума функции z = x² + y² при x + y = 1.

1.Функция Лагранжа L(x,y,t) = (x²+y²)t + t(x+y -1)

2.Критические точки

L'x=2x+t=0, L'y=2y+t=0, L't=x+y-1=0, Следовательно (x0=1/2, y0=1/2, t0=-1)

3.Вид условного экстремума

g'x= (x+y)'x=1, g'y=(x+y)'y=1, L'xx=2, L'xy=0, L'yy=2

∆= 0 1 1 = -4<0

1 2 0

1 0 2 То M₀ (1/2, ½) –точка условного минимума.

39. Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?

Однородная ф-я – ф-я одного или неск переменных, удовлетворяющая след условию: при одновременном умножении всех аргументов ф-и на один и тот же (произвольный) множитель зн-е ф-и умножается на некот степень этого множ-ля, т. е. для однородной ф-и двух аргументов f (x, y) при всех зн-ях х, у и любом λ должно иметь место рав-во: f (λ x, λ у) = λⁿ f (х, y), где n — т.н. степень однор-ти.

Т Эйлера: если в выражении полного диф-ла ф-и f (x, у) заменить диф-ал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают ф-ю f (x, у), умноженную на степень однородности, т.е.:

Степень однородности равна (–4).

40. Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками и оно целиком содержит отрезок .
Функция, заданная на выпуклом множестве, будет выпуклой вниз, если все точки поверхности, заданной этой функцией, соответствующие отрезку множества В, лежат не выше хорды, соединяющей точки (рис. 12). Анал-но можно дать геом-ое толкование вып вверх ф-и двух переменных.

Очевидно, выпуклая ф-я не может иметь седловых точек (точек перегиба). Это зн-ит, что для вып ф-и рав-во нулю частных производных явл-я не только необ усл экс-, но и дост.

Более того, экстремум выпуклой ф-и явл-ся глобальным, то есть наим-м зн-ем во всей области определения в случае функции, выпуклой вниз, и наиб-им в случае функции, выпуклой вверх.

Теорема. Если ф-я выпукла (вогнута) во всей обл определения D, тогда она имеет не более одной точки глобального минимума (максимума) в области D.

Пример: Исследовать на выпуклость и вогнутость:

Найдем критические точки:

Исследуем эти точки, для этого найдем частные производные:

Исследуем точку M ₁: а) А =6 х (М ₁=0 ), В = –6 (М ₁ = –6 ), С =48 у (М ₁=0 )

∆(М ₁)= АС – В ²= –36 < 0. В точке М ₁ нет экстремума, т.к. ∆<0.

Исследуем точку M ₂: б) А =6 х (М ₂=6 ), В = –6 (М ₂ = –6 ), С =48 у (М ₂=24 )

∆(М ₂)=108 > 0. Т.к. значение A>0, значит в точке М ₂ минимум (z _min=0). Ф-я выпукла.

41. Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.

Определение: Если F(x) – первообразная для f(x),то выражение F(x) + C, где С – произволь пост-ая, наз-ся неопределенным интегралом от ф-и f(x).

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства: 1. Пример

2. Доказательство:

Пример

3. Пример

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Док-во: Это вытекает из того, что если ф-и U, V и W – первообразные соот-но для u, v и w, то производная их суммы (разности) будет равна сумме (разности) производных.

Пример

5. Пример